問題は、与えられた数について、正の約数の個数とその総和を求めることです。ここでは、(1) $5 \cdot 2^3$ と (2) 108 について求めます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた数について、正の約数の個数とその総和を求めることです。ここでは、(1) $5 \cdot 2^3$ と (2) 108 について求めます。

2. 解き方の手順

(1) $5 \cdot 2^3$の場合:

まず、与えられた数を素因数分解します。すでに素因数分解されているので、$5^1 \cdot 2^3$となります。

約数の個数は、各素因数の指数に1を足したものを掛け合わせることで求められます。

約数の個数 = $(1+1) \cdot (3+1) = 2 \cdot 4 = 8$

約数の総和は、各素因数について、$1+p+p^2+...+p^n$ (ここでpは素因数、nはその指数)を計算し、それらを掛け合わせることで求められます。

約数の総和 = $(1+5) \cdot (1+2+2^2+2^3) = 6 \cdot (1+2+4+8) = 6 \cdot 15 = 90$

(2) 108の場合:

まず、108を素因数分解します。

$108 = 2^2 \cdot 3^3$

約数の個数 = $(2+1) \cdot (3+1) = 3 \cdot 4 = 12$

約数の総和 = $(1+2+2^2) \cdot (1+3+3^2+3^3) = (1+2+4) \cdot (1+3+9+27) = 7 \cdot 40 = 280$

3. 最終的な答え

(1) $5 \cdot 2^3$の場合:

約数の個数: 8

約数の総和: 90

(2) 108の場合:

約数の個数: 12

約数の総和: 280