底面の半径が1、高さが1の直円柱を、底面の中心Oを通り、底面とのなす角が45°の平面で2つの部分に分けるとき、小さい方の立体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

底面の半径が1、高さが1の直円柱を、底面の中心Oを通り、底面とのなす角が45°の平面で2つの部分に分けるとき、小さい方の立体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

小さい方の立体の体積は、積分を使って求めることができます。

まず、底面の中心から距離$x$の位置にある、底面に垂直な微小な短冊を考えます。この短冊の幅は$dx$で、高さは平面の方程式から求められます。平面は底面と45°の角をなすので、平面の方程式は$z = x$となります。ここで、$z$は底面からの高さです。

この短冊の面積は、$2\sqrt{1-x^2} dx$となります。なぜなら、底面は半径1の円なので、$x$座標における円の幅は、$2\sqrt{1-x^2}$で表されるからです。短冊の高さは$x$なので、短冊の体積は、$x \cdot 2\sqrt{1-x^2} dx$となります。

求める体積は、この微小体積を$x$が0から1まで積分することで得られます。

$V = \int_{0}^{1} 2x\sqrt{1-x^2} dx$

ここで、$u = 1-x^2$と置換すると、$du = -2x dx$となります。

積分範囲は、$x=0$のとき$u=1$、$x=1$のとき$u=0$となります。

$V = \int_{1}^{0} -\sqrt{u} du = \int_{0}^{1} \sqrt{u} du$

$V = [\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} = \frac{2}{3}(1^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

求める体積は$\frac{2}{3}$です。