曲線 $y = x^3 + 5x$ 上の点 $(1, 1)$ から引かれた接線の方程式と接点の座標を求めよ。ただし、点 $(1, 1)$ は曲線上にないため、これは与えられた点を通る接線を求める問題として解釈します。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + 5x$ 上の点 $(1, 1)$ から引かれた接線の方程式と接点の座標を求めよ。ただし、点 $(1, 1)$ は曲線上にないため、これは与えられた点を通る接線を求める問題として解釈します。

2. 解き方の手順

(1) 接点の座標を $(t, t^3 + 5t)$ とおく。

(2) 曲線 $y = x^3 + 5x$ を微分して、$y'$ を求める。

$y' = 3x^2 + 5$

(3) $x = t$ における接線の傾きを求める。

$y'(t) = 3t^2 + 5$

(4) 接点 $(t, t^3 + 5t)$ における接線の方程式を求める。

$y - (t^3 + 5t) = (3t^2 + 5)(x - t)$

$y = (3t^2 + 5)x - 3t^3 - 5t + t^3 + 5t$

$y = (3t^2 + 5)x - 2t^3$

(5) この接線が点 $(1, 1)$ を通ることから、$x = 1$、$y = 1$ を代入する。

$1 = (3t^2 + 5)(1) - 2t^3$

$1 = 3t^2 + 5 - 2t^3$

$2t^3 - 3t^2 - 4 = 0$

(6) 上記の3次方程式を解く。$t = 2$ を代入すると $2(2^3) - 3(2^2) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0$ より、$t = 2$ は解である。

したがって、$2t^3 - 3t^2 - 4$ は $(t - 2)$ で割り切れる。

実際に割り算を行うと、$2t^3 - 3t^2 - 4 = (t - 2)(2t^2 + t + 2)$ となる。

$2t^2 + t + 2 = 0$ の判別式は $D = 1^2 - 4(2)(2) = 1 - 16 = -15 < 0$ なので、$2t^2 + t + 2 = 0$ は実数解を持たない。

したがって、$t = 2$ が唯一の実数解となる。

(7) 接点の座標は $(2, 2^3 + 5(2)) = (2, 8 + 10) = (2, 18)$。

(8) 接線の方程式は、$y = (3(2^2) + 5)x - 2(2^3) = (12 + 5)x - 16 = 17x - 16$。

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = 17x - 16$ であり、接点の座標は $(2, 18)$ である。