以下の関数の微分を求めます。 (7) $y = e^{2x+1}$ (8) $y = 4^x$ (9) $y = xe^{-3x}$ (10) $y = e^x \cos x$ (11) $y = (x+1)3^x$ (12) $y = a^{-3x}$

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1. 問題の内容

以下の関数の微分を求めます。

(7) $y = e^{2x+1}$

(8) $y = 4^x$

(9) $y = xe^{-3x}$

(10) $y = e^x \cos x$

(11) $y = (x+1)3^x$

(12) $y = a^{-3x}$

2. 解き方の手順

(7) $y = e^{2x+1}$

合成関数の微分を使います。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$u = 2x + 1$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 2$。

$y = e^u$ なので、$\frac{dy}{du} = e^u$。

よって、$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot 2 = 2e^{2x+1}$

(8) $y = 4^x$

$y = a^x$ の微分は $\frac{dy}{dx} = a^x \ln a$ なので、$y = 4^x$ の微分は $\frac{dy}{dx} = 4^x \ln 4$

(9) $y = xe^{-3x}$

積の微分法則と合成関数の微分を使います。積の微分法則は $\frac{d(uv)}{dx} = u'\cdot v + u \cdot v'$

$u = x$, $v = e^{-3x}$ とおくと、$u' = 1$。

$v = e^{-3x}$ の微分は、合成関数の微分より、$\frac{dv}{dx} = e^{-3x} \cdot (-3) = -3e^{-3x}$

よって、$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot e^{-3x} + x \cdot (-3e^{-3x}) = e^{-3x} - 3xe^{-3x} = (1-3x)e^{-3x}$

(10) $y = e^x \cos x$

積の微分法則を使います。$\frac{d(uv)}{dx} = u'\cdot v + u \cdot v'$

$u = e^x$, $v = \cos x$ とおくと、$u' = e^x$, $v' = -\sin x$

よって、$\frac{dy}{dx} = e^x \cos x + e^x (-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$

(11) $y = (x+1)3^x$

積の微分法則を使います。$\frac{d(uv)}{dx} = u'\cdot v + u \cdot v'$

$u = x+1$, $v = 3^x$ とおくと、$u' = 1$, $v' = 3^x \ln 3$

よって、$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot 3^x + (x+1) \cdot 3^x \ln 3 = 3^x + (x+1)3^x \ln 3 = 3^x(1 + (x+1)\ln 3)$

(12) $y = a^{-3x}$

合成関数の微分を使います。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$u = -3x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = -3$。

$y = a^u$ なので、$\frac{dy}{du} = a^u \ln a$。

よって、$\frac{dy}{dx} = a^u \ln a \cdot (-3) = -3a^{-3x} \ln a$

3. 最終的な答え

(7) $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x+1}$

(8) $\frac{dy}{dx} = 4^x \ln 4$

(9) $\frac{dy}{dx} = (1-3x)e^{-3x}$

(10) $\frac{dy}{dx} = e^x(\cos x - \sin x)$

(11) $\frac{dy}{dx} = 3^x(1 + (x+1)\ln 3)$

(12) $\frac{dy}{dx} = -3a^{-3x} \ln a$