次の極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx} \log(1 + \frac{3}{x})}{\frac{d}{dx} (\frac{1}{2x})}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx} \log(1 + \frac{3}{x})}{\frac{d}{dx} (\frac{1}{2x})}$

2. 解き方の手順

まず、分子の微分を計算します。

$\frac{d}{dx} \log(1 + \frac{3}{x}) = \frac{1}{1 + \frac{3}{x}} \cdot \frac{d}{dx} (1 + \frac{3}{x}) = \frac{1}{1 + \frac{3}{x}} \cdot (-\frac{3}{x^2}) = \frac{1}{\frac{x+3}{x}} \cdot (-\frac{3}{x^2}) = \frac{x}{x+3} \cdot (-\frac{3}{x^2}) = -\frac{3}{x(x+3)}$

次に、分母の微分を計算します。

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{2x}) = \frac{1}{2} \frac{d}{dx} (\frac{1}{x}) = \frac{1}{2} (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{2x^2}$

与えられた極限は、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{3}{x(x+3)}}{-\frac{1}{2x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{x(x+3)} \cdot 2x^2 = \lim_{x \to \infty} \frac{6x^2}{x^2 + 3x} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{1 + \frac{3}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{3}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{6}{1 + \frac{3}{x}} = \frac{6}{1 + 0} = 6$

3. 最終的な答え

6