曲線 $y = e^{-x}$ と $x$軸、$y$軸、直線 $x=1$ で囲まれた図形を $D$ とする。 (1) $D$ の面積 $S$ を求めよ。 (2) $D$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = e^{-x}$ と $x$軸、$y$軸、直線 $x=1$ で囲まれた図形を $D$ とする。

(1) $D$ の面積 $S$ を求めよ。

(2) $D$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 面積 $S$ は、定積分で求められる。

$S = \int_0^1 e^{-x} dx$

$e^{-x}$ の原始関数は $-e^{-x}$ なので、

$S = [-e^{-x}]_0^1$

$S = -e^{-1} - (-e^0)$

$S = -e^{-1} + 1$

$S = 1 - \frac{1}{e}$

(2) 体積 $V$ は、回転体の体積の公式を用いて求める。

$V = \pi \int_0^1 (e^{-x})^2 dx$

$V = \pi \int_0^1 e^{-2x} dx$

$e^{-2x}$ の原始関数は $-\frac{1}{2}e^{-2x}$ なので、

$V = \pi [-\frac{1}{2}e^{-2x}]_0^1$

$V = \pi (-\frac{1}{2}e^{-2} - (-\frac{1}{2}e^0))$

$V = \pi (-\frac{1}{2}e^{-2} + \frac{1}{2})$

$V = \frac{\pi}{2} (1 - e^{-2})$

$V = \frac{\pi}{2} (1 - \frac{1}{e^2})$

3. 最終的な答え

(1) $S = 1 - \frac{1}{e}$

(2) $V = \frac{\pi}{2} (1 - \frac{1}{e^2})$