与えられた関数 $y = -x^3 + 9x^2 - 27x + 24$ について、何らかの数学的な操作（例えば、微分、積分、グラフの概形など）をすることを求められていると考えられます。ここでは、この関数の導関数を求め、増減表を作成し、グラフの概形を記述することにします。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = -x^3 + 9x^2 - 27x + 24$ について、何らかの数学的な操作（例えば、微分、積分、グラフの概形など）をすることを求められていると考えられます。ここでは、この関数の導関数を求め、増減表を作成し、グラフの概形を記述することにします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分します。

$y = -x^3 + 9x^2 - 27x + 24$

$y' = -3x^2 + 18x - 27$

$y' = -3(x^2 - 6x + 9)$

$y' = -3(x-3)^2$

次に、$y' = 0$となる$x$の値を求めます。

$-3(x-3)^2 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

$x = 3$

$x = 3$ の前後で$y'$の符号を調べます。

$x < 3$のとき、例えば$x=2$とすると、$y' = -3(2-3)^2 = -3 < 0$

$x > 3$のとき、例えば$x=4$とすると、$y' = -3(4-3)^2 = -3 < 0$

したがって、$x = 3$のとき、$y'$は負から負に変化するため、$x = 3$において極値は存在しません。

$x=3$のときの$y$の値を求めます。

$y = -(3)^3 + 9(3)^2 - 27(3) + 24$

$y = -27 + 81 - 81 + 24$

$y = -27 + 24 = -3$

増減表は以下のようになります。

| x | ... | 3 | ... |

|------|-----|-----|-----|

| y' | - | 0 | - |

| y | 減少 | -3 | 減少 |

3. 最終的な答え

与えられた関数 $y = -x^3 + 9x^2 - 27x + 24$ は、$x=3$ で $y=-3$ となる点を持つが、極値は持ちません。常に減少する関数です。