直線 $y = 2x$ と $x$軸、直線 $x = 3$ で囲まれた図形 $D$ (三角形) があります。 (1) 図形 $D$ の面積 $S$ を、定積分 $\int_0^3 2x \, dx$ を計算して求めます。 (2) 図形 $D$ を $x$ 軸の周りに1回転させてできる回転体 (円錐) の体積 $V$ を求めます。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x$ と $x$軸、直線 $x = 3$ で囲まれた図形 $D$ (三角形) があります。

(1) 図形 $D$ の面積 $S$ を、定積分 $\int_0^3 2x \, dx$ を計算して求めます。

(2) 図形 $D$ を $x$ 軸の周りに1回転させてできる回転体 (円錐) の体積 $V$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 面積 $S$ を求める。

定積分 $\int_0^3 2x \, dx$ を計算します。

まず、被積分関数 $2x$ の原始関数を求めます。

$x^2$ が $2x$ の原始関数の一つです。

したがって、定積分は次のようになります。

$\int_0^3 2x \, dx = [x^2]_0^3 = 3^2 - 0^2 = 9$

(2) 回転体の体積 $V$ を求める。

$y = 2x$ を $x$ 軸の周りに回転させた回転体の体積を求めるには、積分を使用します。

体積 $V$ は次の式で与えられます。

$V = \pi \int_0^3 (2x)^2 \, dx = \pi \int_0^3 4x^2 \, dx$

$\int_0^3 4x^2 \, dx = 4 \int_0^3 x^2 \, dx = 4 [\frac{1}{3}x^3]_0^3 = 4(\frac{1}{3} \times 3^3 - \frac{1}{3} \times 0^3) = 4 \times \frac{27}{3} = 4 \times 9 = 36$

したがって、 $V = \pi \times 36 = 36\pi$

3. 最終的な答え

(1) 面積 $S = 9$

(2) 体積 $V = 36\pi$