## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた極限を区分求積法を用いて計算する問題です。具体的には、以下の4つの極限を求める必要があります。

(1) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1^4}{n^5} + \frac{2^4}{n^5} + \frac{3^4}{n^5} + \dots + \frac{n^4}{n^5} \right)$

(2) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n^2} + \frac{n+2}{n^2} + \frac{n+3}{n^2} + \dots + \frac{n+n}{n^2} \right)$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\left(e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+e^{\frac{3}{n}}+...+e^{\frac{n}{n}}\right)$

(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\left(\cos{\frac{\pi}{2n}}+\cos{\frac{2\pi}{2n}}+\cos{\frac{3\pi}{2n}}+...+\cos{\frac{n\pi}{2n}}\right)$

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2. 解き方の手順

区分求積法を用いて、それぞれの極限を定積分に変換して計算します。

**(1) の手順**

与えられた式を $\sum$ で表すと、

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^4}{n^5} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n} \right)^4$

これは、関数 $f(x) = x^4$ を区間 $[0, 1]$ で積分することに対応します。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n} \right)^4 = \int_0^1 x^4 \, dx$

$\int_0^1 x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{5} - 0 = \frac{1}{5}$

**(2) の手順**

与えられた式を $\sum$ で表すと、

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n+k}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} (n+k) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( \sum_{k=1}^{n} n + \sum_{k=1}^{n} k \right)$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( n^2 + \frac{n(n+1)}{2} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{n^2+n}{2n^2} \right)$

$= \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} \right) = 1 + \frac{1}{2} + 0 = \frac{3}{2}$

**(3) の手順**

与えられた式は、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} e^{\frac{k}{n}}$

これは、関数 $f(x) = e^x$ を区間 $[0, 1]$ で積分することに対応します。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} e^{\frac{k}{n}} = \int_0^1 e^x \, dx$

$\int_0^1 e^x \, dx = \left[ e^x \right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$

**(4) の手順**

与えられた式は、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos \left( \frac{k\pi}{2n} \right)$

これは、関数 $f(x) = \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)$ を区間 $[0, 1]$ で積分することに対応します。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos \left( \frac{k\pi}{2n} \right) = \int_0^1 \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) \, dx$

$\int_0^1 \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) \, dx = \left[ \frac{2}{\pi} \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) \right]_0^1 = \frac{2}{\pi} (\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0)) = \frac{2}{\pi} (1 - 0) = \frac{2}{\pi}$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{5}$

(2) $\frac{3}{2}$

(3) $e - 1$

(4) $\frac{2}{\pi}$