次の極限を区分求積法を用いて求めます。 $\lim_{n \to \infty} (\frac{1^4}{n^5} + \frac{2^4}{n^5} + \frac{3^4}{n^5} + \cdots + \frac{n^4}{n^5})$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

**問題4 (1)**

1. 問題の内容

次の極限を区分求積法を用いて求めます。

$\lim_{n \to \infty} (\frac{1^4}{n^5} + \frac{2^4}{n^5} + \frac{3^4}{n^5} + \cdots + \frac{n^4}{n^5})$

2. 解き方の手順

与えられた極限を$\Sigma$を用いて書き換えます。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^4}{n^5} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (\frac{k}{n})^4$

この式は、関数 $f(x) = x^4$ の区間 $[0, 1]$ における定積分に対応します。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (\frac{k}{n})^4 = \int_{0}^{1} x^4 dx$

定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} x^4 dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{5}$

**問題4 (2)**

1. 問題の内容

次の極限を区分求積法を用いて求めます。

$\lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n^2} + \frac{n+2}{n^2} + \frac{n+3}{n^2} + \cdots + \frac{n+n}{n^2})$

2. 解き方の手順

与えられた極限を$\Sigma$を用いて書き換えます。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n+k}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{n} + \frac{k}{n^2}) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} (1 + \frac{k}{n})$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (1 + \frac{k}{n})$

この式は、関数 $f(x) = 1+x$ の区間 $[0, 1]$ における定積分に対応します。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (1 + \frac{k}{n}) = \int_{0}^{1} (1+x) dx$

定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (1+x) dx = \left[ x + \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = (1 + \frac{1^2}{2}) - (0 + \frac{0^2}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$

**問題4 (3)**

1. 問題の内容

次の極限を区分求積法を用いて求めます。

$\lim_{n \to \infty} (\frac{e^{\frac{1}{n}}}{n} + \frac{e^{\frac{2}{n}}}{n} + \frac{e^{\frac{3}{n}}}{n} + \cdots + \frac{e^{\frac{n}{n}}}{n})$

2. 解き方の手順

与えられた極限を$\Sigma$を用いて書き換えます。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{e^{\frac{k}{n}}}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} e^{\frac{k}{n}}$

この式は、関数 $f(x) = e^x$ の区間 $[0, 1]$ における定積分に対応します。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} e^{\frac{k}{n}} = \int_{0}^{1} e^x dx$

定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} e^x dx = \left[ e^x \right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$

3. 最終的な答え

$e-1$

**問題4 (4)**

1. 問題の内容

次の極限を区分求積法を用いて求めます。

$\lim_{n \to \infty} (\frac{\cos{\frac{\pi}{2n}}}{n} + \frac{\cos{\frac{2\pi}{2n}}}{n} + \frac{\cos{\frac{3\pi}{2n}}}{n} + \cdots + \frac{\cos{\frac{n\pi}{2n}}}{n})$

2. 解き方の手順

与えられた極限を$\Sigma$を用いて書き換えます。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\cos{\frac{k\pi}{2n}}}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos{(\frac{\pi}{2} \cdot \frac{k}{n})}$

この式は、関数 $f(x) = \cos(\frac{\pi}{2}x)$ の区間 $[0, 1]$ における定積分に対応します。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos{(\frac{\pi}{2} \cdot \frac{k}{n})} = \int_{0}^{1} \cos{(\frac{\pi}{2}x)} dx$

定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \cos{(\frac{\pi}{2}x)} dx = \left[ \frac{2}{\pi}\sin{(\frac{\pi}{2}x)} \right]_0^1 = \frac{2}{\pi}(\sin{\frac{\pi}{2}} - \sin{0}) = \frac{2}{\pi}(1 - 0) = \frac{2}{\pi}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{\pi}$