$f(x, y)$ の3次マクローリン多項式を求める問題です。具体的には以下の4つの関数について、3次までのマクローリン展開を求めます。 (1) $x^2 + 2xy + xy^2$ (2) $\sin(x)\cos(y)$ (3) $e^x \sin(x+y)$ (4) $\frac{1}{1+x-y}$

1. 問題の内容

$f(x, y)$ の3次マクローリン多項式を求める問題です。具体的には以下の4つの関数について、3次までのマクローリン展開を求めます。

(1) $x^2 + 2xy + xy^2$

(2) $\sin(x)\cos(y)$

(3) $e^x \sin(x+y)$

(4) $\frac{1}{1+x-y}$

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数を原点$(0,0)$における偏微分係数を用いて多項式で近似する方法です。3次までのマクローリン展開は一般に以下のように表されます。

$f(x, y) \approx f(0, 0) + f_x(0, 0)x + f_y(0, 0)y + \frac{1}{2}f_{xx}(0, 0)x^2 + f_{xy}(0, 0)xy + \frac{1}{2}f_{yy}(0, 0)y^2 + \frac{1}{6}f_{xxx}(0, 0)x^3 + \frac{1}{2}f_{xxy}(0, 0)x^2y + \frac{1}{2}f_{xyy}(0, 0)xy^2 + \frac{1}{6}f_{yyy}(0, 0)y^3$

ここで、$f_x, f_y, f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}, f_{xxx}, f_{xxy}, f_{xyy}, f_{yyy}$ はそれぞれ $x, y$ に関する偏微分を表します。

各関数に対して、必要な偏微分係数を計算し、上記の式に代入することでマクローリン展開を求めます。

(1) $f(x, y) = x^2 + 2xy + xy^2$

この関数はすでに多項式なので、3次以上の項がないことに注意すれば、これがそのまま3次のマクローリン多項式になります。

(2) $f(x, y) = \sin(x)\cos(y)$

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + ...$

$\cos(y) = 1 - \frac{y^2}{2!} + ...$

よって、$\sin(x)\cos(y) = (x - \frac{x^3}{6} + ...)(1 - \frac{y^2}{2} + ...) = x - \frac{xy^2}{2} - \frac{x^3}{6} + ...$

3次までの項を取ると、$x - \frac{x^3}{6} - \frac{xy^2}{2}$

(3) $f(x, y) = e^x \sin(x+y)$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + ...$

$\sin(x+y) = (x+y) - \frac{(x+y)^3}{6} + ...$

$e^x\sin(x+y) = (1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+...)(x+y - \frac{(x+y)^3}{6} + ...)$

$= x+y + x^2+xy + \frac{x^3}{2} + \frac{x^2y}{2} + \frac{xy^2}{2} + \frac{x^3}{6}+...$

$= x+y + x^2+xy + \frac{x^3}{2} + \frac{x^2y}{2} + \frac{xy^2}{2} + ...$

3次までの項を取ると、$x + y + x^2 + xy + \frac{x^3}{2}$

(4) $f(x, y) = \frac{1}{1+x-y}$

$\frac{1}{1+x-y} = 1 - (-(x-y)) + (-(x-y))^2 - (-(x-y))^3+ ...$

$= 1 + (x-y) + (x-y)^2 + (x-y)^3 + ...$

$= 1 + (x-y) + x^2 -2xy + y^2 + x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 + ...$

3次までの項を取ると、$1 + x - y + x^2 - 2xy + y^2 + x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 2xy + xy^2$

(2) $x - \frac{x^3}{6} - \frac{xy^2}{2}$

(3) $x + y + x^2 + xy + \frac{x^3}{2}$

(4) $1 + x - y + x^2 - 2xy + y^2 + x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$