問題は全部で5問あり、それぞれ以下の内容です。 * 問題1: 極座標で表された曲線 $r^2 = a^2 \cos 2\theta$ について、(1) 陰関数を求めよ。(2) (1)で求めた陰関数について $\frac{dr}{d\theta}$ を求めよ。 * 問題2: 次の関数をマクローリン展開せよ。(1) $f(x) = \frac{1}{1-x}$ (2) $f(x) = e^x$ (3) $f(x) = \sin x$ * 問題3: 次の計算をせよ。(1) $\frac{\partial}{\partial z}(x^2 + y^2 + z^2)$ (2) $\frac{\partial^2}{\partial y \partial x}(x^2 + 2xy)$ * 問題4: 曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ に沿って、$x = 0$ から $x = 4$ までの長さを求めよ。 * 問題5: 次の計算をせよ。(1) $\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}} dx$ (2) $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-4x^2} dx$

1. 問題の内容

問題は全部で5問あり、それぞれ以下の内容です。

* 問題1: 極座標で表された曲線 $r^2 = a^2 \cos 2\theta$ について、(1) 陰関数を求めよ。(2) (1)で求めた陰関数について $\frac{dr}{d\theta}$ を求めよ。

* 問題2: 次の関数をマクローリン展開せよ。(1) $f(x) = \frac{1}{1-x}$ (2) $f(x) = e^x$ (3) $f(x) = \sin x$

* 問題3: 次の計算をせよ。(1) $\frac{\partial}{\partial z}(x^2 + y^2 + z^2)$ (2) $\frac{\partial^2}{\partial y \partial x}(x^2 + 2xy)$

* 問題4: 曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ に沿って、$x = 0$ から $x = 4$ までの長さを求めよ。

* 問題5: 次の計算をせよ。(1) $\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}} dx$ (2) $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-4x^2} dx$

2. 解き方の手順

問題1

(1) $r^2 = a^2 \cos 2\theta$ のままが陰関数表示です。

(2) (1)の式を $\theta$ で微分します。

$2r \frac{dr}{d\theta} = a^2 (-\sin 2\theta) \cdot 2$

$\frac{dr}{d\theta} = \frac{-a^2 \sin 2\theta}{r} = \frac{-a^2 \sin 2\theta}{\sqrt{a^2 \cos 2\theta}} = -a \sin 2\theta / \sqrt{\cos 2 \theta}$

問題2

(1) $f(x) = \frac{1}{1-x}$ のマクローリン展開は、等比級数の公式より

$f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$

(2) $f(x) = e^x$ のマクローリン展開は、

$f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

(3) $f(x) = \sin x$ のマクローリン展開は、

$f(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

問題3

(1) $\frac{\partial}{\partial z}(x^2 + y^2 + z^2) = 2z$

(2) $\frac{\partial}{\partial y \partial x}(x^2 + 2xy) = \frac{\partial}{\partial y} (2x+2y) = 2$

問題4

$y = \frac{1}{2}x^2$ より、$\frac{dy}{dx} = x$

曲線の長さの公式は

$\int \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$ なので、

求める長さは

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + x^2} dx$ となる。

公式 $\int \sqrt{x^2+A} dx = \frac{1}{2}x \sqrt{x^2+A} + \frac{A}{2} \ln |x+\sqrt{x^2+A}| + C$ を使うと、

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + x^2} dx = [\frac{1}{2}x \sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2} \ln |x+\sqrt{x^2+1}|]_{0}^{4} = \frac{1}{2}(4\sqrt{17} + \ln(4+\sqrt{17}))$

問題5

(1) $\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}} dx = \int_{0}^{\infty} x^{-1/2} e^{-x} dx = \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$

(2) $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-4x^2} dx$

$t = 2x$ とおくと $x = \frac{t}{2}$, $dx = \frac{1}{2} dt$

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-4x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt = \frac{1}{2} \sqrt{\pi}$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $r^2 = a^2 \cos 2\theta$

(2) $\frac{dr}{d\theta} = -a \sin 2\theta / \sqrt{\cos 2 \theta}$

問題2:

(1) $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$

(2) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

(3) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

問題3:

(1) $2z$

(2) $2$

問題4:

$\frac{1}{2}(4\sqrt{17} + \ln(4+\sqrt{17}))$

問題5:

(1) $\sqrt{\pi}$

(2) $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$