与えられた2つの極限値を求める問題です。 (a) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$ (b) $\lim_{x \to 0} \frac{(\log(1-x))^2}{2x^2}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限値を求める問題です。

(a) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$

(b) $\lim_{x \to 0} \frac{(\log(1-x))^2}{2x^2}$

2. 解き方の手順

(a) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$ について:

この極限は $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。ロピタルの定理を2回適用します。

1回目：

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}$

2回目：

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x}$

$x \to \infty$ のとき、$e^x \to \infty$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$

(b) $\lim_{x \to 0} \frac{(\log(1-x))^2}{2x^2}$ について:

この極限も $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。まずは$\log(1-x)$のマクローリン展開を考えます。$\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$ なので、

$\log(1-x) \approx -x$ ($x \to 0$ のとき)。よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{(\log(1-x))^2}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(-x)^2}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

別解:

$\lim_{x \to 0} \frac{(\log(1-x))^2}{2x^2}$ で、ロピタルの定理を適用します。

1回目：

$\lim_{x \to 0} \frac{2\log(1-x) \cdot \frac{-1}{1-x}}{4x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\log(1-x)}{2x(1-x)}$

この極限も $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

2回目：

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{-1}{1-x}}{2(1-x) + 2x(-1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1/(1-x)}{2-2x-2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2(1-x)^2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(a) 0

(b) $\frac{1}{2}$