定積分 $\int_{1}^{2} \sqrt{x^2 + 2x + 5} \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \sqrt{x^2 + 2x + 5} \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を平方完成します。

$x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x+1)^2 + 4$

したがって、積分は

$\int_{1}^{2} \sqrt{(x+1)^2 + 4} \, dx$

となります。

ここで、$x+1 = 2\sinh(u)$ と置換します。すると、$dx = 2\cosh(u) \, du$ となります。

置換積分の範囲も変更する必要があります。

$x = 1$ のとき、$2 = 2\sinh(u)$ なので、$\sinh(u) = 1$、つまり $u = \sinh^{-1}(1)$

$x = 2$ のとき、$3 = 2\sinh(u)$ なので、$\sinh(u) = \frac{3}{2}$、つまり $u = \sinh^{-1}(\frac{3}{2})$

置換積分を実行すると、

$\int_{\sinh^{-1}(1)}^{\sinh^{-1}(\frac{3}{2})} \sqrt{4\sinh^2(u) + 4} \cdot 2\cosh(u) \, du = \int_{\sinh^{-1}(1)}^{\sinh^{-1}(\frac{3}{2})} 2\sqrt{\sinh^2(u) + 1} \cdot 2\cosh(u) \, du$

$\sinh^2(u) + 1 = \cosh^2(u)$ より、

$\int_{\sinh^{-1}(1)}^{\sinh^{-1}(\frac{3}{2})} 4\cosh^2(u) \, du$

$\cosh^2(u) = \frac{1 + \cosh(2u)}{2}$ なので、

$\int_{\sinh^{-1}(1)}^{\sinh^{-1}(\frac{3}{2})} 4 \cdot \frac{1 + \cosh(2u)}{2} \, du = \int_{\sinh^{-1}(1)}^{\sinh^{-1}(\frac{3}{2})} 2(1 + \cosh(2u)) \, du$

$= [2u + \sinh(2u)]_{\sinh^{-1}(1)}^{\sinh^{-1}(\frac{3}{2})}$

$\sinh(2u) = 2\sinh(u)\cosh(u)$ より、

$[2u + 2\sinh(u)\cosh(u)]_{\sinh^{-1}(1)}^{\sinh^{-1}(\frac{3}{2})}$

$\cosh(u) = \sqrt{\sinh^2(u) + 1}$ より、

$\cosh(\sinh^{-1}(1)) = \sqrt{1^2 + 1} = \sqrt{2}$

$\cosh(\sinh^{-1}(\frac{3}{2})) = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 1} = \sqrt{\frac{9}{4} + 1} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$

従って、

$[2u + 2\sinh(u)\cosh(u)]_{\sinh^{-1}(1)}^{\sinh^{-1}(\frac{3}{2})} = [2\sinh^{-1}(u) + 2\sinh(u)\sqrt{\sinh^2(u)+1}]_{\sinh^{-1}(1)}^{\sinh^{-1}(\frac{3}{2})}$

$= [2\sinh^{-1}(u) + 2(x+1)/2 \sqrt{((x+1)/2)^2+1}]_{1}^{2} = [2\sinh^{-1}((x+1)/2) + (x+1)\sqrt{((x+1)/2)^2+1}]_{1}^{2}$

$= [2\sinh^{-1}((x+1)/2) + \frac{x+1}{2} \sqrt{(x+1)^2+4}]_{1}^{2}$

$= [2\sinh^{-1}((x+1)/2) + \frac{x+1}{2} \sqrt{x^2+2x+5}]_{1}^{2}$

$= 2\sinh^{-1}(\frac{3}{2}) + \frac{3}{2}\sqrt{13} - 2\sinh^{-1}(1) - \sqrt{8}$

$= 2\sinh^{-1}(\frac{3}{2}) + \frac{3\sqrt{13}}{2} - 2\sinh^{-1}(1) - 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$2\sinh^{-1}(\frac{3}{2}) + \frac{3\sqrt{13}}{2} - 2\sinh^{-1}(1) - 2\sqrt{2}$

もしくは

$2\ln(\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{9}{4} + 1}) + \frac{3\sqrt{13}}{2} - 2\ln(1+\sqrt{2}) - 2\sqrt{2} = 2\ln(\frac{3+\sqrt{13}}{2}) + \frac{3\sqrt{13}}{2} - 2\ln(1+\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}$

$\approx 4.7641$