曲線 $y = \sin x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) と $x$軸、直線 $x = \frac{\pi}{2}$ で囲まれた図形 $D$ がある。 (1) 図形 $D$ の面積 $S$ を求めよ。 (2) 図形 $D$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \sin x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) と $x$軸、直線 $x = \frac{\pi}{2}$ で囲まれた図形 $D$ がある。

(1) 図形 $D$ の面積 $S$ を求めよ。

(2) 図形 $D$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 面積 $S$ は、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx$ で求められる。

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \frac{\pi}{2} - (-\cos 0) = -0 + 1 = 1$

(2) 体積 $V$ は、$\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x)^2 \, dx$ で求められる。

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いて積分する。

$V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) \, dx$

$= \frac{\pi}{2} [x - \frac{1}{2} \sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} [(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \sin \pi) - (0 - \frac{1}{2} \sin 0)] = \frac{\pi}{2} [\frac{\pi}{2} - 0 - 0 + 0] = \frac{\pi^2}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $S = 1$

(2) $V = \frac{\pi^2}{4}$