$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式、不等式を解け。 (1) $\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = 1$ (2) $2\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) \le -1$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式、不等式を解け。

(1) $\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = 1$

(2) $2\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) \le -1$

2. 解き方の手順

(1)

$t = \theta + \frac{\pi}{6}$ とおくと、与えられた方程式は

$\sqrt{2}\sin t = 1$

$\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、

$\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{6} < 2\pi + \frac{\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} \le t < \frac{13\pi}{6}$

この範囲で $\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $t$ は、

$t = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$

よって、

$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$

$\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6}, \frac{9\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$

$\theta = \frac{3\pi - 2\pi}{12}, \frac{9\pi - 2\pi}{12}, \frac{27\pi - 2\pi}{12}$

$\theta = \frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{25\pi}{12}$

(2)

$t = 2\theta - \frac{\pi}{3}$ とおくと、与えられた不等式は

$2\cos t \le -1$

$\cos t \le -\frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、

$0 \le 2\theta < 4\pi$

$-\frac{\pi}{3} \le 2\theta - \frac{\pi}{3} < 4\pi - \frac{\pi}{3}$

$-\frac{\pi}{3} \le t < \frac{11\pi}{3}$

この範囲で $\cos t \le -\frac{1}{2}$ を満たす $t$ は、

$\frac{2\pi}{3} \le t \le \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3} \le t \le \frac{10\pi}{3}$

よって、

$\frac{2\pi}{3} \le 2\theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$

$\frac{8\pi}{3} \le 2\theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{10\pi}{3}$

$\pi \le 4\theta \le 5\pi$

$8\pi + \pi \le 6\theta \le 10\pi + \pi$

$\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$

$\frac{8\pi}{6} \le \theta \le \frac{10\pi}{6}$

$\frac{9\pi}{6} \le 2\theta \le \frac{11\pi}{6}$

$\frac{3\pi}{2} \le \theta \le \frac{11\pi}{6}$

$\frac{2\pi}{3} \le 2\theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$ より、

$\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \le 2\theta \le \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{3}$

$\pi \le 2\theta \le \frac{5\pi}{3}$

$\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}$

$\frac{8\pi}{3} \le 2\theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{10\pi}{3}$ より、

$\frac{8\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \le 2\theta \le \frac{10\pi}{3} + \frac{\pi}{3}$

$3\pi \le 2\theta \le \frac{11\pi}{3}$

$\frac{3\pi}{2} \le \theta \le \frac{11\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{25\pi}{12}$

(2) $\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2} \le \theta \le \frac{11\pi}{6}$