極方程式 $r = 1 + \cos\theta$ で表される曲線上の、$\theta = \frac{\pi}{4}$ に対応する点における法線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

極方程式 $r = 1 + \cos\theta$ で表される曲線上の、$\theta = \frac{\pi}{4}$ に対応する点における法線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、極座標 $(r, \theta)$ を直交座標 $(x, y)$ に変換します。

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$

$r = 1 + \cos\theta$ を代入すると、

$x = (1 + \cos\theta)\cos\theta = \cos\theta + \cos^2\theta$

$y = (1 + \cos\theta)\sin\theta = \sin\theta + \cos\theta\sin\theta$

(2) $\theta = \frac{\pi}{4}$ のときの $x$ と $y$ の値を求めます。

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{2}}{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

よって、$\theta = \frac{\pi}{4}$ に対応する点の座標は $(\frac{\sqrt{2}+1}{2}, \frac{\sqrt{2}+1}{2})$ です。

(3) $\frac{dx}{d\theta}$ と $\frac{dy}{d\theta}$ を計算します。

$\frac{dx}{d\theta} = -\sin\theta - 2\cos\theta\sin\theta = -\sin\theta - \sin(2\theta)$

$\frac{dy}{d\theta} = \cos\theta + \cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos\theta + \cos(2\theta)$

(4) $\theta = \frac{\pi}{4}$ のときの $\frac{dx}{d\theta}$ と $\frac{dy}{d\theta}$ の値を求めます。

$\frac{dx}{d\theta} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = -\frac{\sqrt{2}+2}{2}$

$\frac{dy}{d\theta} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos(\frac{\pi}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(5) 接線の傾き $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}+2}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2} = -\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-2)}{(\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-2)} = -\frac{2-2\sqrt{2}}{2-4} = -\frac{2-2\sqrt{2}}{-2} = 1-\sqrt{2}$

(6) 法線の傾きを求めます。接線の傾きと法線の傾きの積は $-1$ です。

法線の傾き $= -\frac{1}{1-\sqrt{2}} = -\frac{1}{1-\sqrt{2}} \cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = -\frac{1+\sqrt{2}}{1-2} = -\frac{1+\sqrt{2}}{-1} = 1+\sqrt{2}$

(7) 法線の方程式を求めます。法線は $(\frac{\sqrt{2}+1}{2}, \frac{\sqrt{2}+1}{2})$ を通り、傾きが $1+\sqrt{2}$ です。

$y - \frac{\sqrt{2}+1}{2} = (1+\sqrt{2})(x - \frac{\sqrt{2}+1}{2})$

$y = (1+\sqrt{2})x - (1+\sqrt{2})\frac{\sqrt{2}+1}{2} + \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

$y = (1+\sqrt{2})x - \frac{(1+\sqrt{2})^2}{2} + \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

$y = (1+\sqrt{2})x - \frac{1 + 2\sqrt{2} + 2}{2} + \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

$y = (1+\sqrt{2})x - \frac{3 + 2\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

$y = (1+\sqrt{2})x - \frac{3 + 2\sqrt{2} - \sqrt{2} - 1}{2}$

$y = (1+\sqrt{2})x - \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$

$y = (1+\sqrt{2})x - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$y = (1+\sqrt{2})x - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

あるいは、$y=(1+\sqrt{2})x - \frac{2+\sqrt{2}}{2}$