極方程式 $r = 1 + \cos\theta$ で表される曲線上の $\theta = \frac{\pi}{4}$ に対応する点における法線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

極方程式 $r = 1 + \cos\theta$ で表される曲線上の $\theta = \frac{\pi}{4}$ に対応する点における法線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 直交座標への変換：極座標 $(r, \theta)$ を直交座標 $(x, y)$ に変換します。

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

極方程式 $r = 1 + \cos\theta$ を代入すると、

$x = (1 + \cos\theta)\cos\theta = \cos\theta + \cos^2\theta$

$y = (1 + \cos\theta)\sin\theta = \sin\theta + \cos\theta\sin\theta$

(2) 導関数の計算：$\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{dx}{d\theta} = -\sin\theta - 2\cos\theta\sin\theta = -\sin\theta - \sin(2\theta)$

$\frac{dy}{d\theta} = \cos\theta + \cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos\theta + \cos(2\theta)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{\cos\theta + \cos(2\theta)}{-\sin\theta - \sin(2\theta)}$

(3) $\theta = \frac{\pi}{4}$ における $\frac{dy}{dx}$ の値を計算します。

$\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(2\theta) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, $\sin(2\theta) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 0}{-\frac{\sqrt{2}}{2} - 1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}+2}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{-(\sqrt{2}+2)} = \frac{\sqrt{2}}{-(\sqrt{2}+2)} \cdot \frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}-2} = \frac{2-2\sqrt{2}}{2-4} = \frac{2-2\sqrt{2}}{-2} = \sqrt{2}-1$

(4) 法線の傾きを計算します。

法線の傾きは接線の傾きの逆数に $-1$ をかけたものです。

$m = -\frac{1}{\frac{dy}{dx}} = -\frac{1}{\sqrt{2}-1} = -\frac{1}{\sqrt{2}-1} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = -\frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = -(\sqrt{2}+1) = -\sqrt{2}-1$

(5) $\theta = \frac{\pi}{4}$ における点の座標を計算します。

$r = 1 + \cos\frac{\pi}{4} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2+\sqrt{2}}{2}$

$x = r\cos\theta = \frac{2+\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}+2}{4} = \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

$y = r\sin\theta = \frac{2+\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}+2}{4} = \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

(6) 法線の方程式を求めます。

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - \frac{\sqrt{2}+1}{2} = (-\sqrt{2}-1)(x - \frac{\sqrt{2}+1}{2})$

$2y - (\sqrt{2}+1) = (-2\sqrt{2}-2)(x - \frac{\sqrt{2}+1}{2})$

$2y - (\sqrt{2}+1) = (-2\sqrt{2}-2)x + (\sqrt{2}+1)^2$

$2y - \sqrt{2} - 1 = (-2\sqrt{2}-2)x + (2 + 2\sqrt{2} + 1)$

$2y - \sqrt{2} - 1 = (-2\sqrt{2}-2)x + 3 + 2\sqrt{2}$

$(2\sqrt{2}+2)x + 2y = 3\sqrt{2} + 4$

$(\sqrt{2}+1)x + y = \frac{3\sqrt{2}+4}{2}$

3. 最終的な答え

$(\sqrt{2}+1)x + y = \frac{3\sqrt{2}+4}{2}$

または

$(2+2\sqrt{2})x + 2y = 4+3\sqrt{2}$