次の極限を計算します。 $$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{\log(1 + \frac{3}{x})}{\frac{1}{2x}} \right)^x$$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{\log(1 + \frac{3}{x})}{\frac{1}{2x}} \right)^x$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限の対数を取ります。

$$y = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\log(1 + \frac{3}{x})}{\frac{1}{2x}} \right)^x$$

$$\log y = \lim_{x \to \infty} x \log \left( \frac{\log(1 + \frac{3}{x})}{\frac{1}{2x}} \right) = \lim_{x \to \infty} x \left[ \log \left( \log(1 + \frac{3}{x}) \right) - \log \left( \frac{1}{2x} \right) \right]$$

ここで、$x \to \infty$ のとき $\frac{3}{x} \to 0$ であり、$\log(1+u) \approx u$ ($u \to 0$) であることを利用します。

$$\log(1 + \frac{3}{x}) \approx \frac{3}{x}$$

したがって、

$$\log y = \lim_{x \to \infty} x \left[ \log \left( \frac{3}{x} \right) - \log \left( \frac{1}{2x} \right) \right]$$

$$\log y = \lim_{x \to \infty} x \left[ \log 3 - \log x - (\log 1 - \log 2 - \log x) \right]$$

$$\log y = \lim_{x \to \infty} x \left[ \log 3 - \log x - (0 - \log 2 - \log x) \right]$$

$$\log y = \lim_{x \to \infty} x \left[ \log 3 + \log 2 \right] = \lim_{x \to \infty} x \log 6 = \infty$$

したがって、

$$y = e^{\infty} = \infty$$

3. 最終的な答え

$\infty$