極方程式 $r = 1 + \cos\theta$ で表される曲線上の点 ($\theta = \frac{\pi}{4}$) における法線の方程式を求める。

1. 問題の内容

極方程式 $r = 1 + \cos\theta$ で表される曲線上の点 ($\theta = \frac{\pi}{4}$) における法線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\theta = \frac{\pi}{4}$ のときの $r$ の値を求める。

$r = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

次に、極座標を直交座標に変換する。

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

$\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき、

$x = \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}$

したがって、点 $(x, y) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\right)$ における法線を求めることになる。

$x = r\cos\theta = (1 + \cos\theta)\cos\theta = \cos\theta + \cos^2\theta$

$y = r\sin\theta = (1 + \cos\theta)\sin\theta = \sin\theta + \cos\theta\sin\theta$

$\frac{dx}{d\theta} = -\sin\theta - 2\cos\theta\sin\theta = -\sin\theta - \sin(2\theta)$

$\frac{dy}{d\theta} = \cos\theta + \cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos\theta + \cos(2\theta)$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{\cos\theta + \cos(2\theta)}{-\sin\theta - \sin(2\theta)}$

$\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 0}{-\frac{\sqrt{2}}{2} - 1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2} - 1} = \frac{\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 2} = \frac{\sqrt{2}}{-(\sqrt{2} + 2)} = \frac{-\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}(2 - \sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{-2\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2}$

接線の傾きは $1 - \sqrt{2}$ であるから、法線の傾きは $-\frac{1}{1-\sqrt{2}} = \frac{-1}{1-\sqrt{2}} = \frac{-1(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = \frac{-1-\sqrt{2}}{1-2} = \frac{-1-\sqrt{2}}{-1} = 1 + \sqrt{2}$

求める法線の方程式は、

$y - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\right) = (1 + \sqrt{2})\left(x - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\right)\right)$

$y = (1 + \sqrt{2})x - (1+\sqrt{2})\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = (1 + \sqrt{2})x - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = (1 + \sqrt{2})x - \frac{\sqrt{2}}{2} - 1$

$y = (1 + \sqrt{2})x - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$y = (1 + \sqrt{2})x - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$