問題1: 条件 $x^2 + 2y^2 = 1$ の下で、$x^2 + y^2$ の最大値と最小値を求める。 問題2: $f(x, y)$ の条件 $F(x, y) = 0$ の下での極値点の候補を求める。 (1) $f(x, y) = 2x + y$, $F(x, y) = x^2 + y^2 - 1$ (2) $f(x, y) = x - 2y$, $F(x, y) = xy + 1$

1. 問題の内容

問題1: 条件 $x^2 + 2y^2 = 1$ の下で、$x^2 + y^2$ の最大値と最小値を求める。

問題2: $f(x, y)$ の条件 $F(x, y) = 0$ の下での極値点の候補を求める。

(1) $f(x, y) = 2x + y$, $F(x, y) = x^2 + y^2 - 1$

(2) $f(x, y) = x - 2y$, $F(x, y) = xy + 1$

2. 解き方の手順

問題1:

$x^2 = 1 - 2y^2$ を $x^2 + y^2$ に代入する。

$x^2 + y^2 = (1 - 2y^2) + y^2 = 1 - y^2$

条件 $x^2 + 2y^2 = 1$ より、$x^2 \geq 0$ かつ $2y^2 \geq 0$ であるから、$0 \leq x^2 \leq 1$ かつ $0 \leq 2y^2 \leq 1$。

したがって、$0 \leq y^2 \leq \frac{1}{2}$。

$y^2$ の範囲が $0 \leq y^2 \leq \frac{1}{2}$ なので、$- \frac{1}{\sqrt{2}} \leq y \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$。

$x^2 + y^2 = 1 - y^2$ より、

$y^2 = 0$ のとき、$x^2 + y^2 = 1 - 0 = 1$ （最大値）。

$y^2 = \frac{1}{2}$ のとき、$x^2 + y^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ （最小値）。

問題2: ラグランジュの未定乗数法を用いる。

(1)

ラグランジュ関数を $L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda F(x, y)$ とおく。

$L(x, y, \lambda) = 2x + y - \lambda (x^2 + y^2 - 1)$

偏微分して0とおく。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 2 - 2\lambda x = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 2\lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x^2 + y^2 - 1) = 0$

これらを解く。

$x = \frac{1}{\lambda}$, $y = \frac{1}{2\lambda}$ を $x^2 + y^2 = 1$ に代入すると、

$\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{4\lambda^2} = 1$

$\frac{5}{4\lambda^2} = 1$

$\lambda^2 = \frac{5}{4}$

$\lambda = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\lambda = \frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき、$x = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\lambda = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき、$x = -\frac{2}{\sqrt{5}}$, $y = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

(2)

ラグランジュ関数を $L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda F(x, y)$ とおく。

$L(x, y, \lambda) = x - 2y - \lambda(xy + 1)$

偏微分して0とおく。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 1 - \lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = -2 - \lambda x = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(xy + 1) = 0$

これらを解く。

$y = \frac{1}{\lambda}$, $x = -\frac{2}{\lambda}$ を $xy + 1 = 0$ に代入すると、

$(-\frac{2}{\lambda})(\frac{1}{\lambda}) + 1 = 0$

$-\frac{2}{\lambda^2} + 1 = 0$

$\lambda^2 = 2$

$\lambda = \pm \sqrt{2}$

$\lambda = \sqrt{2}$ のとき、$x = -\sqrt{2}$, $y = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\lambda = -\sqrt{2}$ のとき、$x = \sqrt{2}$, $y = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

問題1:

最大値: 1

最小値: $\frac{1}{2}$

問題2:

(1) $(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$ , $(-\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$

(2) $(-\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ , $(\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$