極方程式 $r = 1 + \cos\theta$ で表される曲線上の点のうち、$\theta = \frac{\pi}{4}$ に対応する点における法線の方程式を求める。

1. 問題の内容

極方程式 $r = 1 + \cos\theta$ で表される曲線上の点のうち、$\theta = \frac{\pi}{4}$ に対応する点における法線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 極座標 $(r, \theta)$ を直交座標 $(x, y)$ に変換する。

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

$r = 1 + \cos\theta$を代入すると、

$x = (1 + \cos\theta)\cos\theta = \cos\theta + \cos^2\theta$

$y = (1 + \cos\theta)\sin\theta = \sin\theta + \cos\theta\sin\theta = \sin\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)$

(2) $\frac{dx}{d\theta}$ と $\frac{dy}{d\theta}$ を計算する。

$\frac{dx}{d\theta} = -\sin\theta - 2\cos\theta\sin\theta = -\sin\theta - \sin(2\theta)$

$\frac{dy}{d\theta} = \cos\theta + \cos(2\theta)$

(3) $\frac{dy}{dx}$ を計算する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{\cos\theta + \cos(2\theta)}{-\sin\theta - \sin(2\theta)}$

(4) $\theta = \frac{\pi}{4}$ のときの $\frac{dy}{dx}$ の値を求める。

$\frac{dy}{dx}|_{\theta=\frac{\pi}{4}} = \frac{\cos(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{2})}{-\sin(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 0}{-\frac{\sqrt{2}}{2} - 1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}+2}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{-(\sqrt{2}+2)} = \frac{\sqrt{2}}{-\sqrt{2}-2} = \frac{\sqrt{2}(-\sqrt{2}+2)}{(-\sqrt{2}-2)(-\sqrt{2}+2)} = \frac{-2+2\sqrt{2}}{2-4} = \frac{-2+2\sqrt{2}}{-2} = 1 - \sqrt{2}$

(5) $\theta = \frac{\pi}{4}$ のときの $x, y$ の値を求める。

$x = \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

$y = \sin(\frac{\pi}{4}) + \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

(6) 法線の傾き $m$ を求める。

法線の傾きは接線の傾きの逆数に $-1$ をかけたものなので、

$m = -\frac{1}{1-\sqrt{2}} = -\frac{1-\sqrt{2}}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = -\frac{1+\sqrt{2}}{1-2} = -(-1-\sqrt{2}) = 1+\sqrt{2}$

(7) 法線の方程式を求める。

$y - \frac{\sqrt{2}+1}{2} = (1+\sqrt{2})(x - \frac{\sqrt{2}+1}{2})$

$y = (1+\sqrt{2})x - (1+\sqrt{2})\frac{\sqrt{2}+1}{2} + \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

$y = (1+\sqrt{2})x - \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2} + \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

$y = (1+\sqrt{2})x - \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2} + \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

$y = (1+\sqrt{2})x - \frac{3+2\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

$y = (1+\sqrt{2})x - \frac{3+2\sqrt{2} - \sqrt{2}-1}{2}$

$y = (1+\sqrt{2})x - \frac{2+\sqrt{2}}{2}$

$y = (1+\sqrt{2})x - (1 + \frac{\sqrt{2}}{2})$

3. 最終的な答え

$y = (1+\sqrt{2})x - (1 + \frac{\sqrt{2}}{2})$

あるいは

$y = (1+\sqrt{2})x - \frac{2+\sqrt{2}}{2}$