動点Pが時刻 $t$ をパラメータとして、座標 $(x, y)$ が $x = t^3 - 3t$、 $y = t^3 + t^2$ と表されている。このとき、Pの速度ベクトル $\vec{v}$ と加速度ベクトル $\vec{a}$ を求める。

1. 問題の内容

動点Pが時刻 $t$ をパラメータとして、座標 $(x, y)$ が $x = t^3 - 3t$、 $y = t^3 + t^2$ と表されている。このとき、Pの速度ベクトル $\vec{v}$ と加速度ベクトル $\vec{a}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、速度ベクトル $\vec{v}$ を求める。速度ベクトルは、位置ベクトルを時間 $t$ で微分することで得られる。

$x$ 座標と $y$ 座標をそれぞれ $t$ で微分する。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t) = 3t^2 - 3$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + t^2) = 3t^2 + 2t$

したがって、速度ベクトル $\vec{v}$ は、

$\vec{v} = (\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}) = (3t^2 - 3, 3t^2 + 2t)$

次に、加速度ベクトル $\vec{a}$ を求める。加速度ベクトルは、速度ベクトルを時間 $t$ で微分することで得られる。

$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ をそれぞれ $t$ で微分する。

$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 3) = 6t$

$\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 2t) = 6t + 2$

したがって、加速度ベクトル $\vec{a}$ は、

$\vec{a} = (\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2}) = (6t, 6t + 2)$

3. 最終的な答え

速度ベクトル $\vec{v} = (3t^2 - 3, 3t^2 + 2t)$

加速度ベクトル $\vec{a} = (6t, 6t + 2)$