次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+\frac{3}{x})}{\frac{1}{2x}}$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+\frac{3}{x})}{\frac{1}{2x}}$

2. 解き方の手順

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使用できます。

ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+\frac{3}{x})}{\frac{1}{2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx} \log(1+\frac{3}{x})}{\frac{d}{dx} \frac{1}{2x}}$

まず、分子の微分を計算します。

$\frac{d}{dx} \log(1+\frac{3}{x}) = \frac{1}{1+\frac{3}{x}} \cdot \frac{d}{dx} (1+\frac{3}{x}) = \frac{1}{1+\frac{3}{x}} \cdot (-\frac{3}{x^2}) = \frac{-3}{x^2(1+\frac{3}{x})} = \frac{-3}{x^2+3x}$

次に、分母の微分を計算します。

$\frac{d}{dx} \frac{1}{2x} = \frac{d}{dx} \frac{1}{2}x^{-1} = \frac{1}{2} \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{1}{2x^2}$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx} \log(1+\frac{3}{x})}{\frac{d}{dx} \frac{1}{2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-3}{x^2+3x}}{-\frac{1}{2x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3}{x^2+3x} \cdot (-2x^2) = \lim_{x \to \infty} \frac{6x^2}{x^2+3x}$

ここで、分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{6}{1+\frac{3}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{3}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{6}{1+\frac{3}{x}} = \frac{6}{1+0} = 6$

3. 最終的な答え

6