与えられた関数 $y$ の導関数 $y'$ をそれぞれ求める問題です。 (12) $y = \cos(2x - 1)$ (13) $y = \tan(3x)$ (14) $y = \sin(x^2)$ (15) $y = \tan(x^2)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ の導関数 $y'$ をそれぞれ求める問題です。

(12) $y = \cos(2x - 1)$

(13) $y = \tan(3x)$

(14) $y = \sin(x^2)$

(15) $y = \tan(x^2)$

2. 解き方の手順

これらの関数は合成関数の形をしているので、合成関数の微分公式（チェーンルール）を用います。

(12) $y = \cos(2x - 1)$ の場合：

$u = 2x - 1$ とおくと、$y = \cos(u)$

$\frac{dy}{du} = -\sin(u)$

$\frac{du}{dx} = 2$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\sin(u) \cdot 2 = -2\sin(2x - 1)$

(13) $y = \tan(3x)$ の場合：

$u = 3x$ とおくと、$y = \tan(u)$

$\frac{dy}{du} = \sec^2(u)$

$\frac{du}{dx} = 3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2(u) \cdot 3 = 3\sec^2(3x)$

(14) $y = \sin(x^2)$ の場合：

$u = x^2$ とおくと、$y = \sin(u)$

$\frac{dy}{du} = \cos(u)$

$\frac{du}{dx} = 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos(u) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$

(15) $y = \tan(x^2)$ の場合：

$u = x^2$ とおくと、$y = \tan(u)$

$\frac{dy}{du} = \sec^2(u)$

$\frac{du}{dx} = 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2(u) \cdot 2x = 2x\sec^2(x^2)$

3. 最終的な答え

(12) $y' = -2\sin(2x - 1)$

(13) $y' = 3\sec^2(3x)$

(14) $y' = 2x\cos(x^2)$

(15) $y' = 2x\sec^2(x^2)$