与えられた問題は、広義積分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{x^2 + 4} dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、広義積分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{x^2 + 4} dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{2}{x^2 + 4} dx$ を計算します。

$x = 2\tan{\theta}$ と置換すると、$dx = 2\sec^2{\theta} d\theta$ となります。

このとき、$x^2 + 4 = 4\tan^2{\theta} + 4 = 4(\tan^2{\theta} + 1) = 4\sec^2{\theta}$ となります。

したがって、

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\int \frac{2}{x^2 + 4} dx = \int \frac{2}{4\sec^2{\theta}} (2\sec^2{\theta} d\theta) = \int \frac{4\sec^2{\theta}}{4\sec^2{\theta}} d\theta = \int d\theta = \theta + C

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ここで、$\tan{\theta} = \frac{x}{2}$ より、$\theta = \arctan{\frac{x}{2}}$ なので、

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\int \frac{2}{x^2 + 4} dx = \arctan{\frac{x}{2}} + C

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次に、広義積分を計算します。

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\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{x^2 + 4} dx = \lim_{a \to \infty} \int_{-a}^{a} \frac{2}{x^2 + 4} dx = \lim_{a \to \infty} \left[ \arctan{\frac{x}{2}} \right]_{-a}^{a}

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= \lim_{a \to \infty} \left( \arctan{\frac{a}{2}} - \arctan{\frac{-a}{2}} \right) = \lim_{a \to \infty} \left( \arctan{\frac{a}{2}} + \arctan{\frac{a}{2}} \right) = \lim_{a \to \infty} 2\arctan{\frac{a}{2}}

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$\lim_{a \to \infty} \arctan{\frac{a}{2}} = \frac{\pi}{2}$ より、

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\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{x^2 + 4} dx = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi

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3. 最終的な答え

$\pi$