与えられた3次関数 $y = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{2}{3}$ について、その極値を求める問題です。 画像には、$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ のときの極小値と、$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$のときの極大値を求める過程が書かれています。

以下に、画像に書かれている問題の解法を示します。

1. 問題の内容

与えられた3次関数 $y = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{2}{3}$ について、その極値を求める問題です。

画像には、$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ のときの極小値と、$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$のときの極大値を求める過程が書かれています。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ で微分して、$y'$ を求めます。

$y' = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x - \frac{3}{2}$

$y'=0$ となる$x$を求めます。$y' = 0$ は、$-\frac{3}{2}(x^2 - 3x + 1) = 0$ と変形できます。

$x^2 - 3x + 1 = 0$ を解の公式を用いて解くと、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

となります。

$x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ と $x = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ の前後で $y'$ の符号が変化することを確認し、増減表を作成します。

$x < \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ のとき $y' < 0$

$\frac{3-\sqrt{5}}{2} < x < \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ のとき $y' > 0$

$x > \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ のとき $y' < 0$

であることがわかります。

したがって、$x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ のとき極小値、 $x = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$のとき極大値をとります。

$x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ のときの極小値を計算します。

まず、$(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^2$ を計算します。

$(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$

次に、$(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^3$ を計算します。

$(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^3 = (\frac{3-\sqrt{5}}{2})^2 \cdot (\frac{3-\sqrt{5}}{2}) = \frac{7-3\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{21 - 7\sqrt{5} - 9\sqrt{5} + 15}{4} = \frac{36 - 16\sqrt{5}}{4} = 9 - 4\sqrt{5}$

したがって、$x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ のときの $y$ の値は

$-\frac{1}{2}(9 - 4\sqrt{5}) + \frac{9}{4}(\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}) - \frac{3}{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2}) + \frac{2}{3} = -\frac{9}{2} + 2\sqrt{5} + \frac{63}{8} - \frac{27\sqrt{5}}{8} - \frac{9}{4} + \frac{3\sqrt{5}}{4} + \frac{2}{3} = -\frac{36}{8} + \frac{63}{8} - \frac{18}{8} + \frac{2}{3} + 2\sqrt{5} - \frac{27}{8}\sqrt{5} + \frac{6}{8}\sqrt{5} = \frac{9}{8} + \frac{2}{3} - \frac{5\sqrt{5}}{8} = \frac{27 + 16}{24} - \frac{5\sqrt{5}}{8} = \frac{43}{24} - \frac{5\sqrt{5}}{8}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$のとき極小値$\frac{43}{24} - \frac{5\sqrt{5}}{8}$をとる。

$x = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$のとき極大値をとる。(極大値の計算は省略)