与えられた問題は、次の定積分の値を求めることです。 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{x^2 + 4} dx$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の定積分の値を求めることです。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{x^2 + 4} dx$

2. 解き方の手順

この定積分を解くためには、まず不定積分を求め、その後、積分範囲の端での極限を計算します。

$\frac{2}{x^2 + 4}$ の不定積分を求めます。これはarctan関数を用いて計算できます。

$x = 2u$ と置換すると、$dx = 2du$ となります。このとき、積分は

$\int \frac{2}{x^2 + 4} dx = \int \frac{2}{(2u)^2 + 4} 2du = \int \frac{4}{4u^2 + 4} du = \int \frac{1}{u^2 + 1} du = \arctan(u) + C = \arctan(\frac{x}{2}) + C$

となります。

次に、定積分の値を求めます。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{x^2 + 4} dx = \lim_{a \to \infty} \int_{-a}^{a} \frac{2}{x^2 + 4} dx = \lim_{a \to \infty} [\arctan(\frac{x}{2})]_{-a}^{a} = \lim_{a \to \infty} [\arctan(\frac{a}{2}) - \arctan(\frac{-a}{2})]$

$\arctan$は奇関数なので、$\arctan(-x) = -\arctan(x)$です。

したがって、

$\lim_{a \to \infty} [\arctan(\frac{a}{2}) - \arctan(\frac{-a}{2})] = \lim_{a \to \infty} [\arctan(\frac{a}{2}) + \arctan(\frac{a}{2})] = \lim_{a \to \infty} 2\arctan(\frac{a}{2})$

$\lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}$ より、

$\lim_{a \to \infty} 2\arctan(\frac{a}{2}) = 2(\frac{\pi}{2}) = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$