与えられた定積分 $\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分法を用います。$u = \frac{1}{x}$ とおくと、$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ となります。したがって、 $dx = -x^2 du$ です。

また、積分範囲も変更する必要があります。$x = \frac{1}{2}$ のとき、$u = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ です。$x = 1$ のとき、$u = \frac{1}{1} = 1$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx = \int_{2}^{1} \frac{e^{u}}{x^2} (-x^2) du = -\int_{2}^{1} e^{u} du$

積分の順序を入れ替えると符号が変わるので

$-\int_{2}^{1} e^{u} du = \int_{1}^{2} e^{u} du$

$e^u$ の積分は $e^u$ なので

$\int_{1}^{2} e^{u} du = [e^{u}]_{1}^{2} = e^{2} - e^{1} = e^2 - e$

3. 最終的な答え

$e^2 - e$