定積分 $\int_{-1}^{0} \frac{3x}{\sqrt{1-3x}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{0} \frac{3x}{\sqrt{1-3x}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = 1-3x$ とおくと、$du = -3dx$ となります。したがって、$dx = -\frac{1}{3}du$ です。

また、$x = \frac{1-u}{3}$ となります。

積分の範囲も変更する必要があります。

$x=-1$ のとき、$u = 1-3(-1) = 4$

$x=0$ のとき、$u = 1-3(0) = 1$

したがって、積分は

$\int_{4}^{1} \frac{3 (\frac{1-u}{3})}{\sqrt{u}} (-\frac{1}{3})du$

$= -\frac{1}{3} \int_{4}^{1} \frac{1-u}{\sqrt{u}} du$

$= \frac{1}{3} \int_{1}^{4} \frac{1-u}{\sqrt{u}} du$

$= \frac{1}{3} \int_{1}^{4} (u^{-1/2} - u^{1/2}) du$

$= \frac{1}{3} [2u^{1/2} - \frac{2}{3}u^{3/2}]_{1}^{4}$

$= \frac{1}{3} [(2\sqrt{4} - \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3) - (2\sqrt{1} - \frac{2}{3}(\sqrt{1})^3)]$

$= \frac{1}{3} [(2(2) - \frac{2}{3}(8)) - (2(1) - \frac{2}{3}(1))]$

$= \frac{1}{3} [(4 - \frac{16}{3}) - (2 - \frac{2}{3})]$

$= \frac{1}{3} [(\frac{12-16}{3}) - (\frac{6-2}{3})]$

$= \frac{1}{3} [-\frac{4}{3} - \frac{4}{3}]$

$= \frac{1}{3} [-\frac{8}{3}]$

$= -\frac{8}{9}$

3. 最終的な答え

$-\frac{8}{9}$