与えられた3次関数 $y = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{2}{3}$ の極値を求める問題です。特に、極小値を与える $x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ の時の $y$ の値を計算する部分について詳しく見ていきます。

1. 問題の内容

与えられた3次関数 $y = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{2}{3}$ の極値を求める問題です。特に、極小値を与える $x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ の時の $y$ の値を計算する部分について詳しく見ていきます。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数 $y$ を $x$ で微分して $y'$ を求めます。

$y' = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x - \frac{3}{2}$

(2) 次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x - \frac{3}{2} = 0$

$-\frac{3}{2}(x^2 - 3x + 1) = 0$

$x^2 - 3x + 1 = 0$

解の公式より、$x = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

(3) 増減表を作成し、$x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ で極小、$x = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ で極大となることを確認します。

(4) $x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ のときの $y$ の値を計算します。

$y = -\frac{1}{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^3 + \frac{9}{4}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^2 - \frac{3}{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2}) + \frac{2}{3}$

計算過程は以下の通りです：

$(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$

$(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^3 = (\frac{3-\sqrt{5}}{2})(\frac{7-3\sqrt{5}}{2}) = \frac{21 - 9\sqrt{5} - 7\sqrt{5} + 15}{4} = \frac{36 - 16\sqrt{5}}{4} = 9 - 4\sqrt{5}$

$y = -\frac{1}{2}(9 - 4\sqrt{5}) + \frac{9}{4}(\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}) - \frac{3}{2}(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}) + \frac{2}{3}$

$y = -\frac{9}{2} + 2\sqrt{5} + \frac{63}{8} - \frac{27\sqrt{5}}{8} - \frac{9}{4} + \frac{3\sqrt{5}}{4} + \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

計算の続きは画像では省略されていますが、これを計算すると極小値が求められます。正確な値は、この続きの計算を実行することで求められます。

$y = -\frac{36}{8} + \frac{63}{8} - \frac{18}{8} + \frac{2}{3} + \frac{16\sqrt{5}}{8} - \frac{27\sqrt{5}}{8} + \frac{6\sqrt{5}}{8}$

$y = \frac{-36+63-18}{8} + \frac{2}{3} + \frac{16 - 27 + 6}{8}\sqrt{5}$

$y = \frac{9}{8} + \frac{2}{3} + \frac{-5}{8}\sqrt{5}$

$y = \frac{27 + 16}{24} - \frac{5\sqrt{5}}{8}$

$y = \frac{43}{24} - \frac{5\sqrt{5}}{8}$

したがって、$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ のときの極小値は $\frac{43}{24} - \frac{5\sqrt{5}}{8}$ となります。