与えられた関数 $y = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{3}$ の極値を求める問題です。導関数を計算し、増減表を作成して極大値と極小値を特定します。

解析学微分極値増減表3次関数
2025/7/16

1. 問題の内容

与えられた関数 y=12x3+94x232x+13y = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{3} の極値を求める問題です。導関数を計算し、増減表を作成して極大値と極小値を特定します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 yyxx で微分して導関数 yy' を求めます。
y=32x2+92x32y' = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x - \frac{3}{2}
次に、y=0y' = 0 となる xx の値を求めます。
32x2+92x32=0-\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x - \frac{3}{2} = 0
両辺に 23-\frac{2}{3} をかけて、
x23x+1=0x^2 - 3x + 1 = 0
この2次方程式を解の公式を使って解きます。
x=(3)±(3)24(1)(1)2(1)x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}
x=3±942x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2}
x=3±52x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}
x=352x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}x=3+52x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} を境界として増減表を作成します。
x<352x < \frac{3 - \sqrt{5}}{2} のとき、y<0y' < 0
352<x<3+52\frac{3 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{2} のとき、y>0y' > 0
x>3+52x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2} のとき、y<0y' < 0
したがって、 x=352x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} で極小値、 x=3+52x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} で極大値をとります。

3. 最終的な答え

x=3+52x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} のとき極大値をとる。

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