定積分 $\int_{-3}^{3} \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-3}^{3} \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

与えられた積分を計算するために、まず不定積分 $\int \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$ を計算します。

$x = 3\sin\theta$ と置換すると、 $dx = 3\cos\theta d\theta$ となります。

このとき、

$\sqrt{9-x^2} = \sqrt{9 - 9\sin^2\theta} = \sqrt{9(1-\sin^2\theta)} = \sqrt{9\cos^2\theta} = 3\cos\theta$ となります。

したがって、

$\int \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx = \int \frac{6}{3\cos\theta} (3\cos\theta) d\theta = \int 6 d\theta = 6\theta + C$ となります。

ここで、 $x = 3\sin\theta$ より、 $\sin\theta = \frac{x}{3}$ なので、 $\theta = \arcsin(\frac{x}{3})$ となります。

よって、不定積分は $6\arcsin(\frac{x}{3}) + C$ となります。

次に、定積分を計算します。

$\int_{-3}^{3} \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx = \left[ 6\arcsin(\frac{x}{3}) \right]_{-3}^{3} = 6\arcsin(\frac{3}{3}) - 6\arcsin(\frac{-3}{3}) = 6\arcsin(1) - 6\arcsin(-1) = 6(\frac{\pi}{2}) - 6(-\frac{\pi}{2}) = 3\pi + 3\pi = 6\pi$ となります。

3. 最終的な答え

$6\pi$