定積分 $\int_{1}^{2} \log(x^3 + x^2) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \log(x^3 + x^2) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算するために、被積分関数を変形します。

$\log(x^3 + x^2) = \log(x^2(x+1)) = \log(x^2) + \log(x+1) = 2\log(x) + \log(x+1)$

したがって、

$\int_{1}^{2} \log(x^3 + x^2) dx = \int_{1}^{2} (2\log(x) + \log(x+1)) dx = 2\int_{1}^{2} \log(x) dx + \int_{1}^{2} \log(x+1) dx$

$\int \log(x) dx$ は部分積分で計算できます。$u = \log(x), dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x}dx, v = x$ となります。したがって、

$\int \log(x) dx = x\log(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x\log(x) - \int 1 dx = x\log(x) - x + C$

$\int \log(x+1) dx$ も部分積分で計算できます。$u = \log(x+1), dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x+1}dx, v = x$ となります。したがって、

$\int \log(x+1) dx = x\log(x+1) - \int \frac{x}{x+1} dx = x\log(x+1) - \int \frac{x+1-1}{x+1} dx = x\log(x+1) - \int (1 - \frac{1}{x+1}) dx = x\log(x+1) - (x - \log(x+1)) + C = x\log(x+1) - x + \log(x+1) + C = (x+1)\log(x+1) - x + C$

したがって、

$\int_{1}^{2} \log(x) dx = [x\log(x) - x]_{1}^{2} = (2\log(2) - 2) - (1\log(1) - 1) = 2\log(2) - 2 - (0 - 1) = 2\log(2) - 1$

$\int_{1}^{2} \log(x+1) dx = [(x+1)\log(x+1) - x]_{1}^{2} = (3\log(3) - 2) - (2\log(2) - 1) = 3\log(3) - 2\log(2) - 1$

したがって、

$2\int_{1}^{2} \log(x) dx + \int_{1}^{2} \log(x+1) dx = 2(2\log(2) - 1) + (3\log(3) - 2\log(2) - 1) = 4\log(2) - 2 + 3\log(3) - 2\log(2) - 1 = 2\log(2) + 3\log(3) - 3$

3. 最終的な答え

$2\log 2 + 3\log 3 - 3$