与えられた2つの関数 $f(x, y)$ の極値を求める問題です。 (1) $f(x, y) = xy(x^2 + y^2 - 1)$ (3) $f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)}(ax^2 + by^2)$, ただし $a > b > 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数 $f(x, y)$ の極値を求める問題です。

(1) $f(x, y) = xy(x^2 + y^2 - 1)$

(3) $f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)}(ax^2 + by^2)$, ただし $a > b > 0$

2. 解き方の手順

(1) $f(x, y) = xy(x^2 + y^2 - 1)$ について：

1. 偏微分を計算します。

$f_x = 3x^2y + y^3 - y$

$f_y = x^3 + 3xy^2 - x$

2. 連立方程式 $f_x = 0$, $f_y = 0$ を解きます。

$y(3x^2 + y^2 - 1) = 0$

$x(x^2 + 3y^2 - 1) = 0$

3. $x = 0$ のとき、$y = 0$ または $y^2 = 1$ より $y = \pm 1$

$y = 0$ のとき、$x = 0$ または $x^2 = 1$ より $x = \pm 1$

$x \neq 0$ かつ $y \neq 0$ のとき、$3x^2 + y^2 = 1$ かつ $x^2 + 3y^2 = 1$

このとき、$x^2 = y^2 = \frac{1}{4}$ より $x = \pm \frac{1}{2}$, $y = \pm \frac{1}{2}$

4. 停留点は $(0, 0), (1, 0), (-1, 0), (0, 1), (0, -1), (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$

5. 2階偏微分を計算します。

$f_{xx} = 6xy$

$f_{yy} = 6xy$

$f_{xy} = 3x^2 + 3y^2 - 1$

6. ヘッセ行列式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 36x^2y^2 - (3x^2 + 3y^2 - 1)^2$を計算します。

7. 各停留点について $D$ の符号を調べます。

- $(0, 0)$ のとき、$D = -1 < 0$ なので極値ではない。

- $(\pm 1, 0)$ のとき、$D = -8 < 0$ なので極値ではない。

- $(0, \pm 1)$ のとき、$D = -8 < 0$ なので極値ではない。

- $(\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2})$ のとき、$D = 36(\frac{1}{16}) - (3(\frac{1}{4}) + 3(\frac{1}{4}) - 1)^2 = \frac{9}{4} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2 > 0$

$f_{xx}(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = 6(\frac{1}{4}) = \frac{3}{2} > 0$ なので、$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ で極小値 $f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 1) = \frac{1}{4}(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}$

$(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ のとき、$f_{xx} = -\frac{3}{2} < 0$ なので、極大値となる可能性がある。$f(x,y) = xy(x^2+y^2-1)$は、原点に対して点対称な関数なので$(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ で極大値 $f(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) = \frac{1}{8}$

(3) $f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)}(ax^2 + by^2)$ について：

1. 偏微分を計算します。

$f_x = e^{-(x^2 + y^2)}(2ax - 2x(ax^2 + by^2)) = 2xe^{-(x^2 + y^2)}(a - ax^2 - by^2)$

$f_y = e^{-(x^2 + y^2)}(2by - 2y(ax^2 + by^2)) = 2ye^{-(x^2 + y^2)}(b - ax^2 - by^2)$

2. 連立方程式 $f_x = 0$, $f_y = 0$ を解きます。

$x = 0$ または $a - ax^2 - by^2 = 0$

$y = 0$ または $b - ax^2 - by^2 = 0$

3. $x = 0$ かつ $y = 0$ のとき、$(0, 0)$ が停留点

$x = 0$ かつ $b - by^2 = 0$ のとき、$y^2 = 1$ より $y = \pm 1$ なので、$(0, \pm 1)$ が停留点

$y = 0$ かつ $a - ax^2 = 0$ のとき、$x^2 = 1$ より $x = \pm 1$ なので、$(\pm 1, 0)$ が停留点

$a - ax^2 - by^2 = 0$ かつ $b - ax^2 - by^2 = 0$ のとき、$a = ax^2 + by^2$ かつ $b = ax^2 + by^2$ より、$a = b$ となるが、$a > b$ なので矛盾

4. 停留点は $(0, 0), (1, 0), (-1, 0), (0, 1), (0, -1)$

5. 2階偏微分を計算します。

$f_{xx} = 2e^{-(x^2+y^2)}[a - ax^2 - by^2 - 2x^2(a - ax^2 - by^2) - ax^2] = 2e^{-(x^2+y^2)}[a-3ax^2-by^2+2ax^4+2bx^2y^2]$

$f_{yy} = 2e^{-(x^2+y^2)}[b-ax^2-3by^2+2ax^2y^2+2by^4]$

$f_{xy} = 2xe^{-(x^2+y^2)}[-2by] = -4bye^{-(x^2+y^2)}$

6. ヘッセ行列式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$を計算します。

7. 各停留点について $D$ の符号を調べます。

- $(0, 0)$ のとき、$f_{xx} = 2a$, $f_{yy} = 2b$, $f_{xy} = 0$ なので、$D = 4ab > 0$ であり、$f_{xx} > 0$ なので極小値 $f(0, 0) = 0$

- $(\pm 1, 0)$ のとき、$f_{xx} = 2e^{-1}(a-3a+2a) = 0$, $f_{yy} = 2e^{-1}(b-a+2a) = 2e^{-1}(b+a)$ ,$f_{xy} = 0$. $D = 0$。しかし、$f(1, 0) = f(-1, 0) = ae^{-1} > 0$ なので、$(0, 0)$ が極小値となる。

- $(0, \pm 1)$ のとき、$f_{xx} = 2e^{-1}(a-b)$, $f_{yy} = 2e^{-1}(b-3b+2b) = 0$, $f_{xy}=0$. $D=0$ 。しかし、$f(0,1)=f(0,-1) = be^{-1}> 0$なので、$(0, 0)$ が極小値となる。

$x^2 = 1, y=0$ のとき、$f(x,y) = ae^{-1}$

$y^2 = 1, x=0$ のとき、$f(x,y) = be^{-1}$

$a>b>0$ なので$ae^{-1}>be^{-1}>0$

したがって, $f(x, y) = xy(x^2 + y^2 - 1)$ の極小値は $-\frac{1}{8}$ で、極大値は $\frac{1}{8}$ です。

$f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)}(ax^2 + by^2)$ の極小値は $0$ で、極大値は $ae^{-1}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 極小値は -1/8, 極大値は 1/8

(3) 極小値は 0, 極大値は a/e