与えられた関数 $g(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{2}{3}$ の極値を求める問題です。具体的には、$g'(x) = 0$となる$x$を求め、増減表を作成し、極大値と極小値を求めます。また、画像の④では$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$の時の極値の計算をしています。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $g(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{2}{3}$ の極値を求める問題です。具体的には、$g'(x) = 0$となる$x$を求め、増減表を作成し、極大値と極小値を求めます。また、画像の④では$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$の時の極値の計算をしています。

2. 解き方の手順

(1) $g'(x)$ を計算します。

$g'(x) = -x^2 + \frac{9}{2}x - \frac{3}{2}$

(2) $g'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-x^2 + \frac{9}{2}x - \frac{3}{2} = 0$

両辺に-2をかけると、

$2x^2 - 9x + 3 = 0$

これは因数分解できないので、解の公式を使います。

$x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(2)(3)}}{2(2)} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24}}{4} = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{4}$

画像の解答では$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$となっていますが、これは誤りです。

(3) 増減表を作成します。

$x = \frac{9 - \sqrt{57}}{4}$と$x = \frac{9 + \sqrt{57}}{4}$で$g'(x)$の符号が変わります。

$g'(x)$の符号を調べる必要があります。$\frac{9-\sqrt{57}}{4}$より小さい$x$、$x=\frac{9-\sqrt{57}}{4}$と$\frac{9+\sqrt{57}}{4}$の間の$x$、$\frac{9+\sqrt{57}}{4}$より大きい$x$で$g'(x)$の符号を調べます。

(4) 極値を求めます。

極大値は$x = \frac{9 - \sqrt{57}}{4}$のとき、$g(\frac{9 - \sqrt{57}}{4})$

極小値は$x = \frac{9 + \sqrt{57}}{4}$のとき、$g(\frac{9 + \sqrt{57}}{4})$

画像の④の計算について：

$x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$のときの$g(x)$の値を計算しています。

$g(\frac{3-\sqrt{5}}{2}) = -\frac{1}{3} (\frac{3-\sqrt{5}}{2})^3 + \frac{9}{4} (\frac{3-\sqrt{5}}{2})^2 - \frac{3}{2} (\frac{3-\sqrt{5}}{2}) + \frac{2}{3}$

$(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$

$(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^3 = (\frac{3-\sqrt{5}}{2})(\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}) = \frac{21 - 9\sqrt{5} - 7\sqrt{5} + 15}{4} = \frac{36 - 16\sqrt{5}}{4} = 9 - 4\sqrt{5}$

よって、

$g(\frac{3-\sqrt{5}}{2}) = -\frac{1}{3}(9-4\sqrt{5}) + \frac{9}{4}(\frac{7-3\sqrt{5}}{2}) - \frac{3}{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2}) + \frac{2}{3} = -3 + \frac{4\sqrt{5}}{3} + \frac{63}{8} - \frac{27\sqrt{5}}{8} - \frac{9}{4} + \frac{3\sqrt{5}}{4} + \frac{2}{3}$

$= -3 + \frac{2}{3} + \frac{63}{8} - \frac{9}{4} + \frac{4\sqrt{5}}{3} - \frac{27\sqrt{5}}{8} + \frac{6\sqrt{5}}{8}$

$= \frac{-72 + 16 + 189 - 54}{24} + \frac{32\sqrt{5} - 81\sqrt{5} + 18\sqrt{5}}{24} = \frac{89}{24} - \frac{31\sqrt{5}}{24}$

3. 最終的な答え

極大値：$x = \frac{9 - \sqrt{57}}{4}$のとき、$g(\frac{9 - \sqrt{57}}{4})$

極小値：$x = \frac{9 + \sqrt{57}}{4}$のとき、$g(\frac{9 + \sqrt{57}}{4})$

$g(\frac{3-\sqrt{5}}{2}) = \frac{89}{24} - \frac{31\sqrt{5}}{24}$

（ただし、$x$の値が画像と異なっていることに注意してください。）