## 問題の解答

## 問題の解答

### [1] 次の図形の体積を求めよ。

**1.** $y = \sqrt{x+1}$ ($1 \le x \le 4$) を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体。

**2.** $y = x - x^3$ と $x$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体。

**3.** 放物線 $x = 16 - y^2$ と $y$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体。

### 解き方の手順

**1.** $y = \sqrt{x+1}$ ($1 \le x \le 4$) を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めます。

回転体の体積の公式は $V = \pi \int_a^b y^2 dx$ です。この問題の場合、$a = 1$、$b = 4$、$y = \sqrt{x+1}$ です。

$V = \pi \int_1^4 (\sqrt{x+1})^2 dx = \pi \int_1^4 (x+1) dx = \pi [\frac{x^2}{2} + x]_1^4$

$V = \pi [(\frac{4^2}{2} + 4) - (\frac{1^2}{2} + 1)] = \pi [(8 + 4) - (\frac{1}{2} + 1)] = \pi [12 - \frac{3}{2}] = \pi [\frac{24 - 3}{2}] = \frac{21}{2}\pi$

**2.** $y = x - x^3$ と $x$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めます。

まず、$y = x - x^3$ と $x$ 軸の交点を求めます。$x - x^3 = 0 \Rightarrow x(1 - x^2) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm 1$

$0 \le x \le 1$ の範囲で $y \ge 0$ であり、$-1 \le x \le 0$ の範囲で $y \le 0$ です。

体積を求める際には $0 \le x \le 1$ の範囲で積分し、その2倍を計算します。

$V = \pi \int_0^1 (x - x^3)^2 dx = \pi \int_0^1 (x^2 - 2x^4 + x^6) dx = \pi [\frac{x^3}{3} - \frac{2x^5}{5} + \frac{x^7}{7}]_0^1$

$V = \pi [\frac{1}{3} - \frac{2}{5} + \frac{1}{7}] = \pi [\frac{35 - 42 + 15}{105}] = \pi [\frac{8}{105}] = \frac{8\pi}{105}$

**3.** 放物線 $x = 16 - y^2$ と $y$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めます。

この場合、$y$ 軸まわりの回転体の体積を求めることになるので、体積の公式は $V = 2\pi \int_a^b yx dy$ です。

$x = 16 - y^2$ と $y$ 軸 ($x=0$) の交点を求めます。$16 - y^2 = 0 \Rightarrow y = \pm 4$

$V = \pi \int_{-4}^{4} y^2 (16-y^2) dy = \pi [16y^2 - y^4] dy$

$V = 2\pi \int_0^4 x^2 y dy = 2\pi \int_0^4 y^2 (16-y^2) dy = 2\pi \int_0^4 (16y^2 - y^4) dy$

$V = 2\pi [\frac{16y^3}{3} - \frac{y^5}{5}]_0^4 = 2\pi [\frac{16(4^3)}{3} - \frac{4^5}{5}] = 2\pi [\frac{16(64)}{3} - \frac{1024}{5}] = 2\pi [\frac{1024}{3} - \frac{1024}{5}] = 2\pi [1024(\frac{1}{3} - \frac{1}{5})] = 2048\pi [\frac{5-3}{15}] = 2048\pi [\frac{2}{15}] = \frac{4096\pi}{15}$

### [2] 次の曲線の長さを求めよ。

**1.** $y = x^2$ ($0 \le x \le 1$).

**2.** $y = \log(\cos x)$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{3}$).

### 解き方の手順

**1.** $y = x^2$ ($0 \le x \le 1$) の曲線の長さを求めます。

曲線の長さの公式は $L = \int_a^b \sqrt{1 + (y')^2} dx$ です。この問題の場合、$a = 0$、$b = 1$、$y = x^2$ なので、$y' = 2x$ です。

$L = \int_0^1 \sqrt{1 + (2x)^2} dx = \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2} dx = 2 \int_0^1 \sqrt{x^2 + \frac{1}{4}} dx$

ここで、$\int \sqrt{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{2}(x\sqrt{x^2 + a^2} + a^2 \log|x + \sqrt{x^2 + a^2}|) + C$ を利用します。

$a^2 = \frac{1}{4}$ より $a = \frac{1}{2}$ です。

$L = 2 [\frac{1}{2} (x\sqrt{x^2 + \frac{1}{4}} + \frac{1}{4} \log|x + \sqrt{x^2 + \frac{1}{4}}|)]_0^1 = [x\sqrt{x^2 + \frac{1}{4}} + \frac{1}{4} \log|x + \sqrt{x^2 + \frac{1}{4}}|]_0^1$

$L = [\sqrt{1 + \frac{1}{4}} + \frac{1}{4} \log|1 + \sqrt{1 + \frac{1}{4}}|] - [0 + \frac{1}{4} \log|\sqrt{\frac{1}{4}}|] = [\sqrt{\frac{5}{4}} + \frac{1}{4} \log|1 + \sqrt{\frac{5}{4}}|] - [\frac{1}{4} \log|\frac{1}{2}|]$

$L = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4} \log|1 + \frac{\sqrt{5}}{2}| - \frac{1}{4} \log|\frac{1}{2}| = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4} \log|\frac{2 + \sqrt{5}}{2}| - \frac{1}{4} \log|\frac{1}{2}|$

$L = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4} \log(2 + \sqrt{5}) - \frac{1}{4} \log 2 - \frac{1}{4} \log 1 + \frac{1}{4} \log 2 = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4} \log(2 + \sqrt{5})$

**2.** $y = \log(\cos x)$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{3}$) の曲線の長さを求めます。

$y' = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$

$L = \int_0^{\pi/3} \sqrt{1 + (-\tan x)^2} dx = \int_0^{\pi/3} \sqrt{1 + \tan^2 x} dx = \int_0^{\pi/3} \sqrt{\sec^2 x} dx = \int_0^{\pi/3} \sec x dx$

$\int \sec x dx = \log|\sec x + \tan x| + C$

$L = [\log|\sec x + \tan x|]_0^{\pi/3} = \log|\sec \frac{\pi}{3} + \tan \frac{\pi}{3}| - \log|\sec 0 + \tan 0| = \log|2 + \sqrt{3}| - \log|1 + 0| = \log(2 + \sqrt{3}) - \log 1 = \log(2 + \sqrt{3}) - 0 = \log(2 + \sqrt{3})$

### 最終的な答え

**[1] 体積**

1. $\frac{21}{2}\pi$

2. $\frac{8\pi}{105}$

3. $\frac{4096\pi}{15}$

**[2] 曲線の長さ**

1. $\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4}\log(2 + \sqrt{5})$

2. $\log(2 + \sqrt{3})$