与えられた関数 $y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{3}$ の極小値を求める問題です。画像のノートには、微分、増減表、そして $x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ における関数値を計算する過程が書かれています。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{3}$ の極小値を求める問題です。画像のノートには、微分、増減表、そして $x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ における関数値を計算する過程が書かれています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、$y'$ を求めます。

$y' = -x^2 + \frac{9}{2}x - \frac{3}{2}$

次に、$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。これは極値をとる $x$ 座標です。

$-x^2 + \frac{9}{2}x - \frac{3}{2} = 0$

両辺に $-2$ をかけると

$2x^2 - 9x + 3 = 0$

解の公式を使って $x$ を求めます。

$x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(2)(3)}}{2(2)} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24}}{4} = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{4}$

画像のノートでは $y' = -\frac{3}{2}(x^2-3x+1)=0$ を解いています。これから $x = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$ を得ます。

したがって、$x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ と $x = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ で極値を持ちます。

画像のノートでは、$x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ のときの極小値を求めようとしています。

$x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ のとき、極小値をとることが増減表からわかります。

そこで、$y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{3}$ に $x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ を代入して計算します。

$(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$

$(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^3 = (\frac{3-\sqrt{5}}{2})(\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}) = \frac{21 - 9\sqrt{5} - 7\sqrt{5} + 15}{4} = \frac{36 - 16\sqrt{5}}{4} = 9 - 4\sqrt{5}$

よって、$y$ の値は、

$-\frac{1}{3}(9 - 4\sqrt{5}) + \frac{9}{4}(\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}) - \frac{3}{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2}) + \frac{1}{3} \\ = -3 + \frac{4\sqrt{5}}{3} + \frac{63}{8} - \frac{27\sqrt{5}}{8} - \frac{9}{4} + \frac{3\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{3} \\ = -3 + \frac{1}{3} + \frac{63}{8} - \frac{18}{8} - \frac{9}{4} + (\frac{4}{3} - \frac{27}{8} + \frac{6}{8})\sqrt{5} \\ = \frac{-72+8+189-54}{24} + (\frac{32 - 81 + 18}{24})\sqrt{5} \\ = \frac{71}{24} - \frac{31}{24}\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ のとき、極小値 $\frac{71}{24} - \frac{31\sqrt{5}}{24}$ をとる。