与えられた広義積分 $\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^4} dx$ の値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた広義積分 $\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^4} dx$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{x^4} dx = \int x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$

次に、広義積分を計算します。

$\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^4} dx = \lim_{t \to -\infty} \int_{t}^{-1} \frac{1}{x^4} dx = \lim_{t \to -\infty} \left[ -\frac{1}{3x^3} \right]_t^{-1}$

$= \lim_{t \to -\infty} \left( -\frac{1}{3(-1)^3} - \left( -\frac{1}{3t^3} \right) \right) = \lim_{t \to -\infty} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3t^3} \right)$

$t \to -\infty$ のとき $\frac{1}{3t^3} \to 0$ となるので、

$\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^4} dx = \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$