次の関数を微分せよ。ただし、$a$ は1でない正の定数とする。 (1) $y = \log 4x$ (2) $y = \log_2(3x - 2)$ (3) $y = \log (x^2 + 2)$ (4) $y = 2x \log_3 x$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。ただし、$a$ は1でない正の定数とする。

(1) $y = \log 4x$

(2) $y = \log_2(3x - 2)$

(3) $y = \log (x^2 + 2)$

(4) $y = 2x \log_3 x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \log 4x$ の微分

まず、$\log$ は底が10の対数であることに注意する。

対数の性質より $y = \log 4 + \log x$ と変形できる。$\log 4$ は定数なので、微分すると0になる。よって、$y = \log x$ の微分を考えればよい。

$\log x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ であるから、$y' = \frac{1}{x \ln 10}$

(2) $y = \log_2(3x - 2)$ の微分

底の変換公式より $y = \frac{\ln(3x - 2)}{\ln 2}$ となる。

合成関数の微分を用いると、$y' = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{1}{3x - 2} \cdot 3 = \frac{3}{(3x - 2) \ln 2}$

(3) $y = \log (x^2 + 2)$ の微分

$y = \frac{\ln(x^2 + 2)}{\ln 10}$

合成関数の微分を用いると、$y' = \frac{1}{\ln 10} \cdot \frac{1}{x^2 + 2} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2 + 2) \ln 10}$

(4) $y = 2x \log_3 x$ の微分

積の微分法を用いる。$y = 2x \cdot \frac{\ln x}{\ln 3}$

$y' = 2 \cdot \frac{\ln x}{\ln 3} + 2x \cdot \frac{1}{x \ln 3} = \frac{2 \ln x}{\ln 3} + \frac{2}{\ln 3} = \frac{2(\ln x + 1)}{\ln 3}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{1}{x \ln 10}$

(2) $y' = \frac{3}{(3x - 2) \ln 2}$

(3) $y' = \frac{2x}{(x^2 + 2) \ln 10}$

(4) $y' = \frac{2(\ln x + 1)}{\ln 3}$