与えられた画像の問題を解く。具体的には以下の問いに答える。 (1) 曲線 $y=e^{-x}$ について、導関数 $y'$ を求め、点 $A(-1, e)$ における接線の方程式を求める。 (2) 曲線 $2x^2 - y^2 = 1$ について、$y \neq 0$ のとき、導関数 $y'$ を求め、点 $A(1, 1)$ における接線の方程式を求める。 (3) 数直線上を運動する点 $P$ の座標 $x$ が、時刻 $t$ の関数として $x = 2\sin{\pi t}$ で表されるとき、速度 $v = \frac{dx}{dt}$ と加速度 $\alpha = \frac{dv}{dt}$ を求める。 (4) 関数 $f(x) = x - 2\sqrt{x}$ について、定義域を求め、導関数 $f'(x)$ を求め、$1 \leq x$ で $f(x)$ が増加するか減少するかを答える。 (5) 関数 $f(x) = \log{(x+1)} - x$ について、定義域を求め、導関数 $f'(x)$ を求め、$0 \leq x$ で $f(x)$ が増加するか減少するかを答える。

1. 問題の内容

与えられた画像の問題を解く。具体的には以下の問いに答える。

(1) 曲線 $y=e^{-x}$ について、導関数 $y'$ を求め、点 $A(-1, e)$ における接線の方程式を求める。

(2) 曲線 $2x^2 - y^2 = 1$ について、$y \neq 0$ のとき、導関数 $y'$ を求め、点 $A(1, 1)$ における接線の方程式を求める。

(3) 数直線上を運動する点 $P$ の座標 $x$ が、時刻 $t$ の関数として $x = 2\sin{\pi t}$ で表されるとき、速度 $v = \frac{dx}{dt}$ と加速度 $\alpha = \frac{dv}{dt}$ を求める。

(4) 関数 $f(x) = x - 2\sqrt{x}$ について、定義域を求め、導関数 $f'(x)$ を求め、$1 \leq x$ で $f(x)$ が増加するか減少するかを答える。

(5) 関数 $f(x) = \log{(x+1)} - x$ について、定義域を求め、導関数 $f'(x)$ を求め、$0 \leq x$ で $f(x)$ が増加するか減少するかを答える。

2. 解き方の手順

(1)

* $y=e^{-x}$ の導関数は $y' = -e^{-x}$ である。

* 点 $A(-1, e)$ における接線の傾きは $y'(-1) = -e^{-(-1)} = -e$ である。

* 接線の方程式は $y - e = -e(x - (-1))$ より、$y = -ex$ となる。

(2)

* $2x^2 - y^2 = 1$ の両辺を $x$ で微分すると、$4x - 2y\frac{dy}{dx} = 0$ となる。

* よって、$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{4x}{2y} = \frac{2x}{y}$ である。

* 点 $A(1, 1)$ における接線の傾きは $y'(1, 1) = \frac{2(1)}{1} = 2$ である。

* 接線の方程式は $y - 1 = 2(x - 1)$ より、$y = 2x - 1$ となる。

(3)

* $x = 2\sin{\pi t}$ より、速度は $v = \frac{dx}{dt} = 2\pi\cos{\pi t}$ である。

* 加速度は $\alpha = \frac{dv}{dt} = -2\pi^2\sin{\pi t}$ である。

(4)

* $f(x) = x - 2\sqrt{x}$ の定義域は、$x \geq 0$ である。

* $f'(x) = 1 - \frac{2}{2\sqrt{x}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$ である。

* $1 \leq x$ のとき、$0 < \frac{1}{\sqrt{x}} \leq 1$ であるから、$0 \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$ となり、$f'(x) \geq 0$ である。よって、$f(x)$ は増加する。

(5)

* $f(x) = \log{(x+1)} - x$ の定義域は、$x+1 > 0$ より、$x > -1$ である。

* $f'(x) = \frac{1}{x+1} - 1 = \frac{1 - (x+1)}{x+1} = \frac{-x}{x+1}$ である。

* $0 \leq x$ のとき、$f'(x) = \frac{-x}{x+1} \leq 0$ である。よって、$f(x)$ は減少する。

3. 最終的な答え

(1) ア: $-e^{-x}$、イ: $-ex$

(2) ウ: $\frac{2x}{y}$、エ: $2x-1$

(3) オ: $2\pi\cos{\pi t}$、カ: $-2\pi^2\sin{\pi t}$

(4) キ: $x\geq 0$、ク: $1-\frac{1}{\sqrt{x}}$、ケ: 増加

(5) コ: $x>-1$、サ: $\frac{-x}{x+1}$、シ: 減少