与えられた関数を微分する問題です。具体的には、 (16) $y = 2x \sin x$ (17) $y = \cos^3 x$ (18) $y = \frac{1}{\cos x}$ (19) $y = \sin^2 2x$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、

(16) $y = 2x \sin x$

(17) $y = \cos^3 x$

(18) $y = \frac{1}{\cos x}$

(19) $y = \sin^2 2x$

の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(16) $y = 2x \sin x$ の微分：

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。$u = 2x$ と $v = \sin x$ とすると、$u' = 2$、$v' = \cos x$ となります。

したがって、

$y' = (2x \sin x)' = 2 \sin x + 2x \cos x = 2(\sin x + x \cos x)$

(17) $y = \cos^3 x$ の微分：

合成関数の微分公式を用います。$y = u^3$、$u = \cos x$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = 3u^2 (-\sin x)$となります。

したがって、

$y' = 3\cos^2 x (-\sin x) = -3 \cos^2 x \sin x$

(18) $y = \frac{1}{\cos x}$ の微分：

$y = (\cos x)^{-1}$ と変形して、合成関数の微分公式を用います。$y = u^{-1}$、$u = \cos x$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = -u^{-2}(-\sin x)$となります。

したがって、

$y' = -(\cos x)^{-2} (-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} \frac{1}{\cos x} = \tan x \sec x$

(19) $y = \sin^2 2x$ の微分：

合成関数の微分公式を二回用います。$y = u^2$、$u = \sin v$、$v = 2x$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dv} \frac{dv}{dx} = 2u \cos v \cdot 2$となります。

したがって、

$y' = 2 \sin 2x \cos 2x \cdot 2 = 4 \sin 2x \cos 2x = 2 (2 \sin 2x \cos 2x) = 2 \sin 4x$

（2倍角の公式: $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ を利用）

3. 最終的な答え

(16) $y' = 2(\sin x + x \cos x)$

(17) $y' = -3 \cos^2 x \sin x$

(18) $y' = \tan x \sec x$

(19) $y' = 2 \sin 4x$