まず、与えられた関数を $(2x+3)^{-2}$ と書き換えます。

## 問題 (5) の内容

関数 $y = \frac{1}{(2x+3)^2}$ の導関数 $y'$ を求めます。

## 解き方の手順

1. **関数の書き換え:**

まず、与えられた関数を $(2x+3)^{-2}$ と書き換えます。

2. **合成関数の微分:**

$u = 2x + 3$ と置くと、$y = u^{-2}$ となります。

連鎖律（chain rule）を用いて微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

3. **各々の微分:**

$\frac{dy}{du} = -2u^{-3}$

$\frac{du}{dx} = 2$

4. **連鎖律の適用:**

$\frac{dy}{dx} = -2u^{-3} \cdot 2 = -4u^{-3}$

5. **uを元に戻す:**

$u = 2x + 3$ を代入すると、

$y' = -4(2x+3)^{-3}$

6. **分数の形で表現:**

$y' = \frac{-4}{(2x+3)^3}$

## 最終的な答え

$y' = \frac{-4}{(2x+3)^3}$

---

## 問題 (6) の内容

関数 $y = (x + \frac{1}{x})^3$ の導関数 $y'$ を求めます。

## 解き方の手順

1. **関数の書き換え:**

まず、与えられた関数を $(x + x^{-1})^3$ と書き換えます。

2. **合成関数の微分:**

$u = x + x^{-1}$ と置くと、$y = u^3$ となります。

連鎖律（chain rule）を用いて微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

3. **各々の微分:**

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$

4. **連鎖律の適用:**

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \frac{x^2 - 1}{x^2} = 3(x + \frac{1}{x})^2 \cdot \frac{x^2 - 1}{x^2}$

5. **整理:**

$y' = 3(x + \frac{1}{x})^2 (\frac{x^2 - 1}{x^2}) = 3(\frac{x^2 + 1}{x})^2 (\frac{x^2 - 1}{x^2}) = 3\frac{(x^2 + 1)^2}{x^2} \frac{x^2 - 1}{x^2} = 3\frac{(x^2 + 1)^2(x^2 - 1)}{x^4}$

## 最終的な答え

$y' = 3\frac{(x^2 + 1)^2(x^2 - 1)}{x^4}$