与えられた関数を微分する問題です。 (1) $y = 2^x$ (2) $y = (\frac{1}{5})^x$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(1) $y = 2^x$

(2) $y = (\frac{1}{5})^x$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2^x$ の微分

一般に、$y = a^x$ (aは定数) の微分は、$\frac{dy}{dx} = a^x \log a$ で与えられます。

この公式を適用すると、

$y = 2^x$ の導関数は、

$\frac{dy}{dx} = 2^x \log 2$

となります。

(2) $y = (\frac{1}{5})^x$ の微分

$y = (\frac{1}{5})^x$ は $y = (5^{-1})^x = 5^{-x}$ と書き換えることができます。

$y = a^{kx}$ (a, k は定数) の微分は $\frac{dy}{dx} = k a^{kx} \log a$ で与えられます。

この公式を適用すると、$y = 5^{-x}$ の導関数は、

$\frac{dy}{dx} = -5^{-x} \log 5 = - (\frac{1}{5})^x \log 5$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 2^x \log 2$

(2) $\frac{dy}{dx} = -(\frac{1}{5})^x \log 5$