与えられた3つの関数をそれぞれ微分せよ。 (6) $y = (x + \frac{1}{x})^3$ (7) $y = \sqrt[6]{x}$ (8) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数をそれぞれ微分せよ。

(6) $y = (x + \frac{1}{x})^3$

(7) $y = \sqrt[6]{x}$

(8) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$

2. 解き方の手順

(6) 合成関数の微分を利用する。

$y = u^3$, $u = x + \frac{1}{x}$と置くと、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$となる。

$\frac{dy}{du} = 3u^2 = 3(x + \frac{1}{x})^2$

$\frac{du}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$

よって、$\frac{dy}{dx} = 3(x + \frac{1}{x})^2 (1 - \frac{1}{x^2})$

(7) 累乗の形に書き換えてから微分する。

$y = \sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1} = \frac{1}{6} x^{-\frac{5}{6}} = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}$

(8) 累乗の形に書き換えてから微分する。

$y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = x^{-\frac{3}{4}}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4} x^{-\frac{3}{4} - 1} = -\frac{3}{4} x^{-\frac{7}{4}} = -\frac{3}{4\sqrt[4]{x^7}} = -\frac{3}{4x\sqrt[4]{x^3}}$

3. 最終的な答え

(6) $\frac{dy}{dx} = 3(x + \frac{1}{x})^2 (1 - \frac{1}{x^2})$

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}$

(8) $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4x\sqrt[4]{x^3}}$