正の定数 $a$ に対して、関数 $f(x) = \log(\sqrt{a^2 + x^2} - x)$ が与えられている。この関数を微分し、多項式 $f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3$ を求めよ。

## 問題76

1. 問題の内容

正の定数 $a$ に対して、関数 $f(x) = \log(\sqrt{a^2 + x^2} - x)$ が与えられている。この関数を微分し、多項式 $f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を微分して、$f'(x)$, $f''(x)$, $f'''(x)$ を求める。その後、これらの導関数に $x = 0$ を代入して、$f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, $f'''(0)$ の値を計算する。最後に、これらの値を多項式に代入する。

ステップ1: $f(x)$ の微分

$f(x) = \log(\sqrt{a^2 + x^2} - x)$ の微分を計算する。

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2} - x} \cdot \left(\frac{2x}{2\sqrt{a^2 + x^2}} - 1\right)$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2} - x} \cdot \left(\frac{x - \sqrt{a^2 + x^2}}{\sqrt{a^2 + x^2}}\right)$

$f'(x) = \frac{x - \sqrt{a^2 + x^2}}{(\sqrt{a^2 + x^2} - x)\sqrt{a^2 + x^2}} = \frac{-1}{\sqrt{a^2 + x^2}}$

ステップ2: $f''(x)$ の微分

$f''(x) = \frac{d}{dx} \left(-\frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}\right) = -\frac{d}{dx} (a^2 + x^2)^{-1/2}$

$f''(x) = - \left(-\frac{1}{2}\right)(a^2 + x^2)^{-3/2} (2x) = \frac{x}{(a^2 + x^2)^{3/2}}$

ステップ3: $f'''(x)$ の微分

$f'''(x) = \frac{(a^2 + x^2)^{3/2} - x \cdot \frac{3}{2} (a^2 + x^2)^{1/2} (2x)}{(a^2 + x^2)^3}$

$f'''(x) = \frac{(a^2 + x^2)^{3/2} - 3x^2 (a^2 + x^2)^{1/2}}{(a^2 + x^2)^3}$

$f'''(x) = \frac{(a^2 + x^2) - 3x^2}{(a^2 + x^2)^{5/2}} = \frac{a^2 - 2x^2}{(a^2 + x^2)^{5/2}}$

ステップ4: $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, $f'''(0)$ の計算

$f(0) = \log(\sqrt{a^2 + 0} - 0) = \log(a)$

$f'(0) = -\frac{1}{\sqrt{a^2 + 0}} = -\frac{1}{a}$

$f''(0) = \frac{0}{(a^2 + 0)^{3/2}} = 0$

$f'''(0) = \frac{a^2 - 2(0)}{(a^2 + 0)^{5/2}} = \frac{a^2}{a^5} = \frac{1}{a^3}$

ステップ5: 多項式の計算

$f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 = \log(a) - \frac{1}{a}x + \frac{0}{2}x^2 + \frac{1}{6a^3}x^3 = \log(a) - \frac{x}{a} + \frac{x^3}{6a^3}$

3. 最終的な答え

$\log(a) - \frac{x}{a} + \frac{x^3}{6a^3}$

## 問題77(1)

1. 問題の内容

$x^2 - y^2 = a^2$ のとき、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を $x$ と $y$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - y^2 = a^2$ を $x$ で微分して $\frac{dy}{dx}$ を求める。その後、$\frac{dy}{dx}$ を再び $x$ で微分して $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める。

ステップ1: 一階微分

$x^2 - y^2 = a^2$ を $x$ で微分する。

$2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{2y} = \frac{x}{y}$

ステップ2: 二階微分

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{y}\right) = \frac{y - x \frac{dy}{dx}}{y^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ を代入する。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{y - x \left(\frac{x}{y}\right)}{y^2} = \frac{y - \frac{x^2}{y}}{y^2} = \frac{y^2 - x^2}{y^3}$

$x^2 - y^2 = a^2$ より、 $y^2 - x^2 = -a^2$ を代入する。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-a^2}{y^3}$

3. 最終的な答え

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{a^2}{y^3}$

## 問題77(2)

1. 問題の内容

$x$ の関数 $y$ が媒介変数 $\theta$ を用いて $x = 1 - \cos\theta$, $y = \theta - \sin\theta$ と表されているとき、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ をそれぞれ $\theta$ で表せ。

2. 解き方の手順

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ を利用して $\frac{dy}{dx}$ を求め、$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/d\theta}$ を利用して $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める。

ステップ1: $\frac{dx}{d\theta}$ と $\frac{dy}{d\theta}$ の計算

$\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(1 - \cos\theta) = \sin\theta$

$\frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\theta - \sin\theta) = 1 - \cos\theta$

ステップ2: $\frac{dy}{dx}$ の計算

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$

ステップ3: $\frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right)$ の計算

$\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}\right) = \frac{\sin\theta (\sin\theta) - (1 - \cos\theta)(\cos\theta)}{\sin^2\theta} = \frac{\sin^2\theta - \cos\theta + \cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin^2\theta}$

ステップ4: $\frac{d^2y}{dx^2}$ の計算

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/d\theta} = \frac{\frac{1 - \cos\theta}{\sin^2\theta}}{\sin\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin^3\theta}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin^3\theta}$