関数 $y = \sin^{-1} \frac{1}{x}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。ただし、$x > 1$ の条件が与えられています。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^{-1} \frac{1}{x}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。ただし、$x > 1$ の条件が与えられています。

2. 解き方の手順

逆三角関数の微分公式を利用します。

$\sin^{-1} u$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$ で求められます。

まず、$u = \frac{1}{x}$ とおくと、$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{1}{x})^2}} \cdot (-\frac{1}{x^2})$

$= \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \cdot (-\frac{1}{x^2})$

$= \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2}}} \cdot (-\frac{1}{x^2})$

$= \frac{1}{\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{|x|}} \cdot (-\frac{1}{x^2})$

$= \frac{|x|}{\sqrt{x^2 - 1}} \cdot (-\frac{1}{x^2})$

ここで、$x > 1$ であるから、$|x| = x$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \cdot (-\frac{1}{x^2})$

$= -\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$