問題1: $0.2 \times \sin(\frac{360^\circ}{1}t - 29^\circ)$ を、$a\sin(\frac{360^\circ}{1}t) + b\cos(\frac{360^\circ}{1}t)$ の形で表したとき、係数 $a$ と $b$ を求めよ。 問題2: 微分の定義を用いて $f(x) = \frac{1}{3x}$ を微分する過程の空欄を埋めよ。 問題3: 与えられた関数を微分せよ。 ⑥ $f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 5$ ⑦ $f(x) = x^2 \times 10^x$ ⑧ $f(x) = \sqrt{\frac{x}{x-1}}$ ⑨ $f(x) = (\sin x)^2$ ⑩ $f(x) = e^{3x^2 - 4x}$

1. 問題の内容

問題1: $0.2 \times \sin(\frac{360^\circ}{1}t - 29^\circ)$ を、$a\sin(\frac{360^\circ}{1}t) + b\cos(\frac{360^\circ}{1}t)$ の形で表したとき、係数 $a$ と $b$ を求めよ。

問題2: 微分の定義を用いて $f(x) = \frac{1}{3x}$ を微分する過程の空欄を埋めよ。

問題3: 与えられた関数を微分せよ。

⑥ $f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 5$

⑦ $f(x) = x^2 \times 10^x$

⑧ $f(x) = \sqrt{\frac{x}{x-1}}$

⑨ $f(x) = (\sin x)^2$

⑩ $f(x) = e^{3x^2 - 4x}$

2. 解き方の手順

問題1: 三角関数の加法定理 $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ を用いる。

$0.2 \times \sin(\frac{360^\circ}{1}t - 29^\circ) = 0.2 \times [\sin(\frac{360^\circ}{1}t)\cos(29^\circ) - \cos(\frac{360^\circ}{1}t)\sin(29^\circ)]$

$= 0.2\cos(29^\circ)\sin(\frac{360^\circ}{1}t) - 0.2\sin(29^\circ)\cos(\frac{360^\circ}{1}t)$

よって、

$a = 0.2\cos(29^\circ)$

$b = -0.2\sin(29^\circ)$

問題2: 微分の定義 $\frac{df(x)}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ を用いる。

$f(x) = \frac{1}{3x}$ より、

$f(x+\Delta x) = \frac{1}{3(x+\Delta x)}$

$f(x+\Delta x) - f(x) = \frac{1}{3(x+\Delta x)} - \frac{1}{3x} = \frac{x - (x+\Delta x)}{3x(x+\Delta x)} = \frac{-\Delta x}{3x(x+\Delta x)}$

$\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{-\Delta x}{3x(x+\Delta x)\Delta x} = \frac{-1}{3x(x+\Delta x)}$

$\frac{df(x)}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{3x(x+\Delta x)} = \frac{-1}{3x^2}$

問題3: 微分の公式を用いて計算する。

⑥ $f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 5$

$f'(x) = 6x^2 - 8x + 3$

⑦ $f(x) = x^2 \times 10^x$

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$f'(x) = 2x \times 10^x + x^2 \times 10^x \ln(10) = 10^x(2x + x^2\ln(10))$

⑧ $f(x) = \sqrt{\frac{x}{x-1}} = (\frac{x}{x-1})^{1/2}$

合成関数の微分法 $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ を用いる。

$f'(x) = \frac{1}{2}(\frac{x}{x-1})^{-1/2} \times \frac{(x-1) - x}{(x-1)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{x-1}{x}} \times \frac{-1}{(x-1)^2} = \frac{-1}{2(x-1)^2}\sqrt{\frac{x-1}{x}}$

⑨ $f(x) = (\sin x)^2$

合成関数の微分法 $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ を用いる。

$f'(x) = 2\sin x \times \cos x = \sin(2x)$

⑩ $f(x) = e^{3x^2 - 4x}$

合成関数の微分法 $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ を用いる。

$f'(x) = e^{3x^2 - 4x} \times (6x - 4) = (6x-4)e^{3x^2 - 4x}$

3. 最終的な答え

問題1: $a = 0.2\cos(29^\circ)$, $b = -0.2\sin(29^\circ)$

問題2: ③ $\frac{-\Delta x}{3x(x+\Delta x)}$, ④ $\frac{-1}{3x(x+\Delta x)}$, ⑤ $\frac{-1}{3x^2}$

問題3:

⑥ $f'(x) = 6x^2 - 8x + 3$

⑦ $f'(x) = 10^x(2x + x^2\ln(10))$

⑧ $f'(x) = \frac{-1}{2(x-1)^2}\sqrt{\frac{x-1}{x}}$

⑨ $f'(x) = \sin(2x)$

⑩ $f'(x) = (6x-4)e^{3x^2 - 4x}$