与えられた関数 $y = \frac{x}{\sqrt{x+1}}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

解析学導関数微分商の微分公式
2025/7/17

1. 問題の内容

与えられた関数 y=xx+1y = \frac{x}{\sqrt{x+1}} の導関数 yy' を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使います。商の微分公式は、関数 u(x)u(x)v(x)v(x) が与えられたとき、u(x)v(x)\frac{u(x)}{v(x)} の導関数は次のようになります。
(u(x)v(x))=u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)2(\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}
この問題では、u(x)=xu(x) = xv(x)=x+1v(x) = \sqrt{x+1} となります。
まず、u(x)u'(x)v(x)v'(x) を求めます。
u(x)=ddx(x)=1u'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1
v(x)=ddx(x+1)=ddx(x+1)12=12(x+1)121=12x+1v'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x+1}) = \frac{d}{dx}(x+1)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}
次に、商の微分公式にこれらを代入します。
y=1x+1x12x+1(x+1)2=x+1x2x+1x+1y' = \frac{1 \cdot \sqrt{x+1} - x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{(\sqrt{x+1})^2} = \frac{\sqrt{x+1} - \frac{x}{2\sqrt{x+1}}}{x+1}
分子を整理します。
x+1x2x+1=2(x+1)x2x+1=2x+2x2x+1=x+22x+1\sqrt{x+1} - \frac{x}{2\sqrt{x+1}} = \frac{2(x+1) - x}{2\sqrt{x+1}} = \frac{2x+2-x}{2\sqrt{x+1}} = \frac{x+2}{2\sqrt{x+1}}
したがって、
y=x+22x+1x+1=x+22(x+1)x+1=x+22(x+1)32y' = \frac{\frac{x+2}{2\sqrt{x+1}}}{x+1} = \frac{x+2}{2(x+1)\sqrt{x+1}} = \frac{x+2}{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}

3. 最終的な答え

y=x+22(x+1)32y' = \frac{x+2}{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}

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