与えられた関数 $y = \frac{x}{\sqrt{x+1}}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。解析学導関数微分商の微分公式2025/7/171. 問題の内容与えられた関数 y=xx+1y = \frac{x}{\sqrt{x+1}}y=x+1x の導関数 y′y'y′ を求める問題です。2. 解き方の手順商の微分公式を使います。商の微分公式は、関数 u(x)u(x)u(x) と v(x)v(x)v(x) が与えられたとき、u(x)v(x)\frac{u(x)}{v(x)}v(x)u(x) の導関数は次のようになります。(u(x)v(x))′=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v(x)2(\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}(v(x)u(x))′=v(x)2u′(x)v(x)−u(x)v′(x)この問題では、u(x)=xu(x) = xu(x)=x、v(x)=x+1v(x) = \sqrt{x+1}v(x)=x+1 となります。まず、u′(x)u'(x)u′(x) と v′(x)v'(x)v′(x) を求めます。u′(x)=ddx(x)=1u'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1u′(x)=dxd(x)=1v′(x)=ddx(x+1)=ddx(x+1)12=12(x+1)−12⋅1=12x+1v'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x+1}) = \frac{d}{dx}(x+1)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}v′(x)=dxd(x+1)=dxd(x+1)21=21(x+1)−21⋅1=2x+11次に、商の微分公式にこれらを代入します。y′=1⋅x+1−x⋅12x+1(x+1)2=x+1−x2x+1x+1y' = \frac{1 \cdot \sqrt{x+1} - x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{(\sqrt{x+1})^2} = \frac{\sqrt{x+1} - \frac{x}{2\sqrt{x+1}}}{x+1}y′=(x+1)21⋅x+1−x⋅2x+11=x+1x+1−2x+1x分子を整理します。x+1−x2x+1=2(x+1)−x2x+1=2x+2−x2x+1=x+22x+1\sqrt{x+1} - \frac{x}{2\sqrt{x+1}} = \frac{2(x+1) - x}{2\sqrt{x+1}} = \frac{2x+2-x}{2\sqrt{x+1}} = \frac{x+2}{2\sqrt{x+1}}x+1−2x+1x=2x+12(x+1)−x=2x+12x+2−x=2x+1x+2したがって、y′=x+22x+1x+1=x+22(x+1)x+1=x+22(x+1)32y' = \frac{\frac{x+2}{2\sqrt{x+1}}}{x+1} = \frac{x+2}{2(x+1)\sqrt{x+1}} = \frac{x+2}{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}y′=x+12x+1x+2=2(x+1)x+1x+2=2(x+1)23x+23. 最終的な答えy′=x+22(x+1)32y' = \frac{x+2}{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}y′=2(x+1)23x+2