例4において、$\epsilon = 0.001$ とするとき、自然数 $N$ の値はどのようにとればよいか。また、任意の正の数 $\epsilon$ に対して、自然数 $N$ をどのようにとればよいか。ただし例4の内容が不明なため、一般的な数列の極限の議論として解釈します。数列 $\{a_n\}$ が $n \to \infty$ で $a$ に収束するとき、$|a_n - a| < \epsilon$ となるような $N$ を求めたいという問題だと仮定します。さらに、例4で $a_n = \frac{1}{n}$ であり、$a=0$ であると仮定して解きます。

1. 問題の内容

例4において、$\epsilon = 0.001$ とするとき、自然数 $N$ の値はどのようにとればよいか。また、任意の正の数 $\epsilon$ に対して、自然数 $N$ をどのようにとればよいか。ただし例4の内容が不明なため、一般的な数列の極限の議論として解釈します。数列 $\{a_n\}$ が $n \to \infty$ で $a$ に収束するとき、$|a_n - a| < \epsilon$ となるような $N$ を求めたいという問題だと仮定します。さらに、例4で $a_n = \frac{1}{n}$ であり、$a=0$ であると仮定して解きます。

2. 解き方の手順

まず、$\epsilon = 0.001$ の場合を考えます。

$|a_n - a| < \epsilon$ は、この場合 $| \frac{1}{n} - 0 | < 0.001$ となります。

これは $\frac{1}{n} < 0.001$ と同値です。

両辺の逆数を取ると、$n > \frac{1}{0.001} = 1000$ となります。

したがって、$N$ として1000より大きい任意の自然数を選べばよいです。例えば、$N = 1001$ とすれば、すべての $n \ge N$ に対して $|\frac{1}{n} - 0| < 0.001$ が成り立ちます。

次に、任意の正の数 $\epsilon$ に対して $N$ をどのようにとればよいかを考えます。

同様に、$|\frac{1}{n} - 0| < \epsilon$ となるような $N$ を探します。

これは $\frac{1}{n} < \epsilon$ と同値です。

両辺の逆数を取ると、$n > \frac{1}{\epsilon}$ となります。

したがって、$N$ として $\frac{1}{\epsilon}$ より大きい任意の自然数を選べばよいです。

$N > \frac{1}{\epsilon}$ となるような自然数 $N$ を選べば、すべての $n \ge N$ に対して $|\frac{1}{n} - 0| < \epsilon$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\epsilon = 0.001$ のとき、$N$ は1000より大きい任意の自然数、例えば $N = 1001$。

任意の正の数 $\epsilon$ に対して、$N$ は $\frac{1}{\epsilon}$ より大きい任意の自然数。つまり、$N > \frac{1}{\epsilon}$ となる自然数 $N$ を選べばよい。